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$ 16. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 
bilden ein mit dieser Punktreihe projectives Kegelschnittbüschel, 
dessen Träger die Pole der Geraden sind. 
13. Besteht eine Curve III. O. aus drei Geraden, die nicht durch 
denselben Punkt gehen, und nimmt man die Geraden zu Coordinatenachsen, 
so ist die Gleichung des Vereins dieser drei Geraden f= 6 x,x4x4 — 0, wobei 
der Faktor 6 hinzugefügt worden ist, um Uebereinstimmung mit der allgemeinen 
Form der cubischen Gleichung zu haben. Für diese Function / ist 
Ko em 9e, Jo 99 9m... 9 22452; 
A0. Fax. Jag ga Fo = 0, fas = %1 > Jag 0 0. 
Die Gleichungen der ersten Polaren und der geraden Polaren 
eines Punktes Ÿ in Bezug auf die aus den Seiten des Achsendreiecks 
bestehende cubische Curve sind daher 
e == I, * Xa%3 + La + X3X4 + T3 t X4X3. — 0, 
1 n X1 + X9 + X3 Er 0 
ore T a M E 
Beide Polaren lassen sich leicht construiren. Setzt man in q" die Coor- 
dinate x, — 0, so erhält man 
#,  « 
1 Ty Es 
Dies ist die Gleichung einer durch .4, gehenden Geraden; mithin die 
Gleichung der Geraden, die A, mit dem Punkte verbindet, in welchem ¢'' die 
Dreieckseite 44,74, schneidet. 
Ebenso erhält man, dass die Strahlen, die 4, und A, mit den Schnitt- 
punkten der Polaren ¢" und der gegeniiberliegenden Seite des Coordinaten- 
dreiecks verbinden, die Gleichungen haben 
Tyo-———-0 Zt 
E, Es 5 E 
Den Achsen x, = 0, #, = 0 und der Geraden 7, ist die Gerade 4,8 
harmonisch zugeordnet; denn die Gleichung von A,B ist 
A1 X9 
= 0. 
2 3 : 
A — + = 0; 
Eo ts 
ebenso ist A, der vierte harmonische Strahl zu x, — 0, x, = 0 und 7, 
sowic 4,5 harmonisch zu 2, = 0, $4 « 0 md 7, 
Um daner die gerade Polare eines Punktes % in Bezug auf ein Dreieck 
4,454, zu construiren, verbindet man Ÿ mit 4, und A,, construirt zu À, 45, 
4,45, 4,% den vierten harmonischen Strahl 7,, sowie zu 4,44,, Ag43, A2Ÿ 
den vierten harmonischen 7', und verbindet die Punkte, in denen 4,4, und 
4,4; von 7, und Z7, geschnitten werden; diese Gerade ist die gesuchte Polare. 
Die erste Polare o' geht durch die Ecken des Coordinatendreiecks. Die 
Gleichung der Tangente an ¢' im Punkte II ist 
(Fa +53 A fa 62) %, e (3 t8, 8 FE) s + (tr E b 18), — 0. 
Die Gleichungen der Tangenten, welche in 4,, 44,, A4, berühren, sind daher 
EgX9 + Eg, — 0, 1X5 +132 = 0, T9%, + FX, = 0; 
dies sind aber der Reihe nach die Geraden 74, 7,, 7,. Die erste Polare 
eines Punktes 33 in Bezug auf das Dreieck 4,44,4, wird also erhalten, indem 
man 7, und 7, construirt, und den Kegelschnitt zeichnet, der durch À, A, 42 
geht und 7, und 7 berührt. 
14. Diese Constructionen lehren zugleich, wie man für einen Punkt $$ 
in Bezug auf drei mit $ auf einer Geraden 7 gelegene Punkt ABC die