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Analytische Geometrie. 
Bei jeder einzelnen der drei Drehungen bleibt eine Achse des jeweiligen 
Coordinatensystems unveründert, also auch die parallel zu ihr gemessene Coor- 
dinate eines Punktes; die beiden andern Coordinaten ändern sich infolge der 
Drehung der Coordinatenebene, mit welcher sie parallel sind, für dieselben gelten 
daher die für Coordinaten in der Ebene aufgestellten Transformationsformeln. 
Bezeichnet man die Winkel XOX, YOY, XOX' der Reihe nach mit y, 9, ©, 
und die Coordinaten eines Punktes 2 in den Systemén X YZ, X9Z, X93, X'Y'3 
der Reihe nach mit x, y, z; r, 5 2; 5, xX,),3, so hat man die successiven 
Transformationsformeln: 
a) für den Uebergang aus dem Systeme X YZ in das System XYZ: 
1. X = cos$-x — sinb-y, y= Stn x + cosbv-y, z= gz; 
B) für den Uebergang aus dem Systeme XYZ in das System XY'3: 
2. FT 4 = day SEN coz EN + cosŸ - 3; 
y) für den Uebergang aus dem Systeme XY'3 in das System X'Y'3: 
3. Po (uQ.a! — sing.y, V = sine x + cesse y, gem. 
Im Falle zweier gleichsinnigen Systeme hat man schliesslich z' — 8; im 
Falle. ungleichsinniger Systeme ist z' = — j- 
Drückt man nun durch die Formeln 1., 2.,. 3. die ursprünglichen Coordinaten 
X, » Z durch die neuen Coordinaten X, J', =' aus, so ergeben sich die Trans- 
formationsformeln: 
X = (cosqeosi — sino sinj cost) - x! — (sine cosy —+ cose sind cos) - y' 
zo sene sn. sz, 
4. y = (cospsinb + sing cosy cos) - x' — (sine sinb — cose cosy cos$) - y' 
+ cost sinÿ. = 
3 — SINQ SINŸ - x" + cos@ sind -y' dz cos. g'. 
Hierbei gelten die oberen Vorzeichen für gleichsinnige, die unteren für 
ungleichsinnige Systeme. 
Vergleicht man diese Transformationsformeln mit den Formeln in No. 4, so 
erhält man die neun Cosinus 91; V9, O3; Di, Bas Par Yır Vos Ya durch die drei 
von einander nicht abhängigen Winkel e, b, 9 ausgedrückt; man hat 
A, > COS YCOSY—SiNESINYCCOST; a, = — sing cos ÿ — cos psn cos; A, = sinsind; 
Bi = cospsiny + sinqcos cos; Bo=—singsiny+cospcos eost; 8, — x cos ysinÿ; 
Y= Sine sind, Vg = COS sind; 1, = zE cos}. 
§ 3. Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 
Z 1. Fällt man. auf 
| Y eine Ebene 7" vom Null- 
/ punkte O aus eine Nor- 
| ; / male ON, so kann die 
A / Ebene als der Ort der 
yu NN Punkte definirt werden, 
L | P^ die den Schnittpunkt 4 
2. ry, ^N dieses Lothes und der 
4 P 9 m Ebene zur Normalpro- 
gp See A jection auf OV haben. 
fe ee 1 Ist 7 die positiv zu rech- 
Y eu n. nende Strecke O A, sind 
a, B, y die Winkel, welche 
(M. 440.) 
      
   
  
  
  
  
  
      
    
   
    
   
  
     
    
   
  
   
     
  
   
     
      
    
     
   
   
   
   
  
   
  
   
   
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