Analytische Geometrie, 
Projicirt man eine ebene Fläche auf die Ebenen eines orthogonalen 
Coordinatensystems, so ist die Summe der zweiten Potenzen der drei 
Projectionen gleich der zweiten Potenz der projicirten Fläche. 
7. Die Gleichung der durch die Punkte 2,2, P, gehenden Ebene (No. 3) 
giebt nach den Gliedern der ersten Zeile entwickelt 
|^ 95-1 | x, 2, 1 | | x 9, 1 | | X; J1 £74 
: [* 99 1-2 —18 2 11pm Ma 1lon—lw, Ya 25150. 
Js: 754.1 | X3 zg 1 | | X35 Jg 1 | | X3 Ya Z3 
Die Coefficienten von x, y, z stimmen rücksichtlich der absoluten Werthe 
mit den doppelten Flächen der Dreiecke. 7, P," P,"", Py By Bl up p 
überein; um die Gleichung 1. auf die Normalform zu bringen, hat man sie daher durch 
EVA DD (Bp + (FER =x. P,P, 
zu dividiren. Bezeichnet man mit /, die von 2, ausgehende Hohe des Tetraëders 
LoL Ly Py und mit f, die Fliche P, P,P,, so hat man daher (No. 5) 
ta. Vo 739 14 
| 
] |*, 5^. 4. 
2/0 |% Jg 29 1 
Fs Ja $5 1 
Hieraus folgt, wenn man mit 7 das Volumen des Tetraéders DP, D, P. 
bezeichnet: 
  
— xA. 
| % Jo 79 ] | 
317031 47 E ESI 
“a 72 Zp 1 | 
p. FJ. 2, 41 
Die Determinante stimmt also dem absoluten Werthe nach mit dem sechs- 
fachen Tetraédervolumen überein. 
Um auch dem Vorzeichen eine geometrische Bedeutung zu geben, haben 
wir uns über den positiven oder negativen Sinn von Tetraédern zu entscheiden. 
Wir wollen ein Tetraéder 4.58C.D als positiv oder negativ ansehen, je nachdem 
von dem Eckpunkte 4 aus betrachtet das Dreieck 2 CD als positiv oder negativ 
erscheint, vorausgesetzt, dass man fiir Dreiecksflichen eine bestimmte Drehrichtung 
(z. B. links herum) als die positive angenommen hat. 
Die Tetraéder ABCD, ACDB, ADBC haben dasselbe Zeichen; die 
Tetraéder ACBD, ABDC, ADCB haben das entgegengesetzte Zeichen; denn 
die Dreiecke BCD, CDB, D BC erscheinen von demselben Punkte 4 aus in 
gleicher Drehrichtung, die Dreiecke C5 D, BDC, DCB in der entgegengesetzten. 
Lässt man also die erste Ecke unverändert und permutirt die drei andern, 
so haben die Tetraéder denselben Sinn, bei denen die drei letzten Buchstaben 
Permutationen von derselben Klasse sind. 
Das Dreieck BCD erscheint von 4 aus in anderer Drehrichtung als das 
Dreieck ACD von B aus; die beiden Tetraëder AB CD und BACD sind daher 
ungleichen Sinnes; und zugleich sind ABCD und BACD Permutationen von 
verschiedener Klasse. Durch Vertauschung der ersten beiden Buchstaben und 
nachmalige Permutation der drei leizten Buchstaben kann man aber alle Per- 
mutationen der vier Buchstaben 4.5 C D herstellen. . Wir sehen daher: Tetraéder, 
die sich nur durch die Anordnung der Eckbuchstaben unter- 
scheiden, sind gleichen oder ungleichen Zeichens, je nachdem die 
Folge ihrer Eckbuchstaben Permutationen von gleicher Klasse sind, 
oder nicht. 
     
   
     
   
       
   
   
   
  
    
    
    
    
  
  
  
  
   
   
   
  
  
  
  
  
  
     
    
    
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folgt: Di 
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