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8 3. Ellipse Hyperbel, Parabel. 9
x? y?
BATE
Der Punkt 2 beschreibt also eine Ellipse mit den Halbachsen a und &.
Man erhält hieraus folgende mechanische Constructionder Ellipse: Auf
— 1 =0.
ein Stück durchsichtiges (Oel-) Papier trage man auf einer Geraden die Strecken
AP gleich der halben kleinen und PB gleich der halben grossen Achse einer
zu entwerfenden Ellipse ab; die Enden A und B markirt man am besten durch
kurze scharfe quer durch AB geführte Striche. Hierauf legt man 4 und B auf
die Schenkel eines gezeichneten rechten Winkels und sticht mit einer Copirnadel
den Punkt P durch. Durch geeignete Wiederholung findet man soviel Punkte
der Ellipse, als man nóthig hat.
4. Um die Glei- Y
chung des Orts der
Punkte zu finden, de- NS
ren Abstánde von EC
zwei gegebenen ™
Punkten Z, und P, ™ T
eine gegebene Diffe-
renz 2a haben, nehmen — — — —75$ 7
wir die Gerade F, 7, zur J 2
Abscissenachse, die Senk- T wt
rechthalbirende dersel- t
ben zur Ordinatenachse; ve Cr
bleibt die Bezeichnung
so wie im vorigen Ab-
schnitte, so hat man die (M. 357.)
Gleichung
yc 2- a)? p y* — y (c — 3)? -- y? — 2a.
Hieraus folgt
x? -- 9cx MP c? 4- y? — 4a? + 4a yx — c? 4- y? + x? — Zex + c? + y”,
und nach Substraction von x2 + ¢2 + »2 und nachheriger Division durch 4e:
und hieraus: 2x2 — 2a2cx + at = a?x? — Qalcx + a?c? + a?y?;
woraus hervorgeht:
1. (c? — a?)x? — a2y? — a? (c? — a?) =0.
Es ergiebt sich ganz wie im vorigen Abschnitte, dass die Curve von der
Abscissenachse Strecken O4, und OA, abschneidet, die gleich Æ à sind.
Setzt man zur Abkürzung 4 fiir die positive Wurzel aus ¢2 — a?, und dividirt
man die Gleichung 1. durch @?6?, so erhält man
x? y
a? 0?
Diese Curve heisst Hyperbel Die Gleichung 2. lehrt, dass reale Werthe
—1=0.
von y nur dann der Gleichung entsprechen, wenn x? 7 a?; zwischen den beiden
Geraden, welche im Abstande ==a parallel zur Ordinatenachse gezogen sind,
liegt also kein Punkt der Hyperbel. Ist x = = a, so folgt.y — 0. Wiüchst x, so
wüchst auch der zugehórige Werth von y, und wird x unendlich gross, so wird
auch y unendlich gross.
Berechnet man aus 9. x und y, so folgen die Formeln