Analytische Geometrie. 
3. y= Y=, x= Lyi. 
Zu jedem gegebenen Werthe von x, bez. y, ergeben sich also zwei entgegen- 
gesetzt gleiche Werthe von y, bez. von x. Hieraus folgt, dass die Hyperbel 
doppelt symmetrisch ist. 
Die Punkte 7, 7, und die Strecke O 7, heissen wie bei der Ellipse die 
Brennpunkte und die Excentricitát; die Strecke 4,44, heisst die Haupt- 
achse, die Gerade O Y heisst Nebenachse. Die Haupt- und die Nebenachse 
der Hyperbel sind also Symmetrieachsen derselben. 
d. Das Verhältniss der Ordinate eines Hyperbelpunktes zur Abscisse ist 
nach 3. 
y a? 
= — Le =, 
X a X 
Wird nun x unendlich gross, so erreicht das Verhältniss die beiden Grenz- 
werthe -3-(2:a); sie entsprechen den beiden zu derselben Abscisse gehórigen 
Hyperbelpunkten. 
Zieht man im Scheitel 4, der Hyperbel eine Parallele zur Nebenachse 
und macht auf derselben 2,4, — 4,5 — 5, und sind * und n, die Ordinaten 
der Punkte II und II, der Geraden O5, bez. OP,, welche zur Abscisse x ge- 
  
b b ; : xs 
hören, so ist 7 = 25 mmm sind .P und 7, die zu x gehórigen Hyperbel- 
punkte, so ist 
B 5 A LE 
/ 9 9 19 9 
p= — Yx2— q? = — — Yx2— ag? 
J a Y A a y , 
wenn die Quadratwurzel positiv genommen wird. Mithin hat man 
Ü Ö ——— 
PI i -—Z22-- = x—y= t (x — Ya? — a?) 
und [l,^, — II, P! — P,P' — — P'll, 4- PP, — — nm, +y, =n—y= PI. 
Wird in der Gleichung 
: à (x — Ya? — a? 
manette um 
a 
sowol der Zähler als der Nenner des rechts stehenden Bruches mit x + y? — a2 
multiplicirt, so entsteht 
Me, leer 
  
x + Ya? — 
bei unendlich wachsenden x wird der Nenner unendlich gross, während der 
Zähler constant bleibt, mithin nähert sich der Quotient und ebenso PII = T, 
der Grenze Null, also fallen die zu einer unendlich grossen Abscisse gehórigen 
Hyperbelpunkte P und 7, mit den zugehórigen Punkten II und II, zusammen. 
Jede der Geraden OB und OB, trifft somit die Hyperbel in zwei (in entgegen- 
gesetzten Richtungen liegenden) unendlich fernen Punkten. 
Aus diesem Grunde nennt man die Geraden OB und O 7, Asymptoten 
der Hyperbel Die Asymptoten der Hyperbel sind also die beiden durch den 
Mittelpunkt gehenden Geraden, deren mit der Hauptachse gebildete Winkel die 
trigonometrische Tangente - 6: a@ haben. 
(s 2 
a X J 3 
6. Die Gleichung der Hyperbel 375 71 kann man auch schreiben: 
      
   
  
   
  
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
und 
ZWis 
so g 
pare 
Hyp 
glei 
der 
ach: 
ab; 
sonc 
übe 
AP 
halt 
Hie 
ent 
leg 
sin 
Asy 
pun 
© a