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230 Analytische Geometrie. 
Ellipse, deren Normalprojection auf Z der Kreis ist, der die Berührungspunkte 
aller die Ebene Æ bertihrenden Kugeln des Bündels enthält. Es giebt mithin 
vier Kugeln eines Bündels, die eine gegebene Gerade und eine ge- 
gegebene Ebene berühren; ihre Centra erhält man als die Schnitt- 
punkte einer Parabel und einer Ellipse. 
19. Die Chordalebene Z einer beliebigen Kugel $ und der Kugel des Bündels 
Æ = MK, + MK; + ha, K; = 0 
hat die Gleichung. Z = & — K «9. 
Setzt man (A, -- As -- 4,) $ statt &, und fiir Æ den obigen Werth, so erhält man 
L=), (8—Kı) + à, (S — Æ2) + À, (R— Æ,). 
Nun sind Z; =8 — Xk, = 0, Ly=8—K,=0, L, = Rf—K,=0 
die Gleichungen der Chordalebenen der Kugel & und der Kugeln K,, K,, Ks 
Diese drei Chordalebenen gehen mit den drei Chordalebenen der Kugelpaare 
KÆ K,, K,K,, K,K, durch einen Punkt (No. 4), schneiden sich daher auf der 
Chordalachse des Bündels. Wir erhalten hieraus: Die Chordalebenen, die 
eine Kugel & mit den Kugeln eines Biindels bestimmt, gehen durch 
einen Punkt 4, der auf der Chordalachse des Bündels liegt; dieser 
Punkt hat gleiche Potenz für alle Kugeln des Bündels und für die 
Kugel &. 
Legen wir durch 4 Tangenten an $, so berühren diese & entlang eines 
Kreises, dessen Ebene normal auf der Geraden steht, die 4 mit dem Centrum 
von $ verbindet. Sind B und C zwei Punkte dieses Kreises, also 4 — AC, 
und construit man die durch Z7 und C gehende Kugel X des Bündels, so berührt 
dieselbe AB in B und AC in C; denn die Potenz des Punktes 4 in Bezug auf 
die Kugel Æ ist gleich dem Quadrat von 4 oder AC. Die Kugeln A und & 
haben folglich den Kreis gemein, der AB in B und AC in C berührt. Rückt 
nun € immer näher an 2, so wird dieser Kreis immer kleiner und zieht sich zu 
einem Punkte zusammen, wenn € mit B zusammenfällt. Wir schliessen hieraus: 
Die Kugeln eines Bündels, die eine gegebene Kugel $& berühren, 
haben ihre Berührungspunkte auf einem Kreise k; entlang dieses 
Kreises wird die Kugel $ von den Tangenten berührt, die durch den 
Punkt der Chordalachse des Bündels gehen, der gleiche Potenz für 
X und die Kugeln des Bündels hat. 
Die Geraden, welche das Centrum Q der Kugel & mit den Punkten des 
Kreises 4 verbinden, sind die Mantellinien eines Rotationskegels. Wie wir in 
der descriptiven Geometrie bereits erfahren haben, ist der Schnitt einer Ebene 
mit einem Rotationskegel eine Curve zweiten Grades. Die Mittelpunkte der 
Kugeln eines Bündels, die eine gegebene Kugel berühren, liegen 
also auf einer Curve zweiten Grades. 
Hiermit sind die Aufgaben im Prinzip gelôst: Die Kugeln eines Bündels 
zu finden, die zwei Kugeln, oder eine Kugel und eine Gerade be- 
rühren; es giebt vier Lösungen zu jeder dieser drei Aufgaben, und die” Mittel- 
punkte der vier Kugeln werden als die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte erhalten. 
8 9. Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flüchen zweiten Grades. 
Cylinder, Kegel und Grenzfliche zweiten Grades. 
1. Die allgemeine Form einer Gleichung zweiten Grades in Punktcoordinaten ist 
l. f=dx?+ 2Bxy + 2Cxz + Dy? + 2 Lys + Fz? + 2 Gx 4-2 Hy-- 9 2 4- K — 0. 
Die Schnittpunkte der Flüche / — 0 und der Ebene 
      
    
  
   
   
  
  
    
  
   
    
    
   
    
     
   
  
   
    
    
   
  
   
    
   
   
  
   
  
  
  
   
   
   
   
   
   
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
   
9. 
genügen 
nate 2 - 
Gleichu 
verbunc 
curve; 
aus 1. 
Vertical 
ebenfall 
Un 
wir auf 
eines al 
wir auf 
projecti: 
rechtwi 
projecti 
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3. 
Eir 
scisse Ë 
Projecti 
der Scl 
durch 1 
zeigt: 
Curve 
9. 
Gerade 
Zie 
Winkel 
Strecke 
So 
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und di 
treffen: 
sollen. 
A 
Gerac 
2 
9.