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§ 5. Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flichen zweiten Grades etc, 245 
Aus zahlreichen Sätzen über ebene Kegelschnitte erhält man mit leichter 
Mühe Sätze über diese sphärischen Kegelschnitte und damit auch Sätze 
über den Kegel zweiter Ordnung. 
24. Um über den Ort der Punkte zu entscheiden, deren Abstand 
von einer gegebenen Geraden / zum Abstande von einer die Gerade 
f schneidenden Ebene D ein gegebenes Verhältniss e hat, nehmen wir 
den Schnitt der Geraden und 
der Ebene zum Nullpunkte un- 
seres Coordinatensystems, legen 
die Z-Achse in die Gerade und 
die Ebene ZOX normal zur 
Ebene 2; O D sei die Vertical- 
spur von M, und DOZ = 3. 
Ist P, ein Punkt der Fláüche, 
so legt auch jeder Punkt der 
Geraden OP, auf derselben, 
da für alle diese Punkte die 
Abstände von der Geraden OZ 
und von der Ebene D gleiches uem 
Verhältniss haben. Wir sehen Y 7 
daraus, dass die Fläche eine (M. 445.) 
Kegelfläche ist, deren Spitze in O liegt. 
Der Abstand ? eines Punktes P von der Z-Achse ist 
p = Var + y 
Der Abstand g von der Ebene D ist gleich dem Abstande der Vertical- 
projection P" des Punktes von der Geraden OD. Man hat 
g= OF" 5in (XOF' — XOD) = OP" sin (XOP" — 90° + 6) 
= — OP" cos(XOP" +8) = OP" sin XO P" sinà — OP" cos XOP" cosd 
= Sind - 3 — cos0 - x. 
Ist nun verlangt, dass 5:4 — e, so folgt 
x? + y? = s?(sinü-s — cos0- x). 
Lóst man die Klammern auf und ordnet, so erhält man 
1. C= (1— e?cos20) x? + Ze? sind cosd - xz + y? — e2sin?à - 32 — 0. 
Diese Gleichung ist zweiten Grades und homogen; die Fläche ist daher ein 
Kegel zweiter Ordnung. Da die Gleichung rein quadratisch für y ist, so 
folgt, dass die Ebene XOZ eine Symmetrieebene des Kegels ist. 
Die Analogie mit den Kegelschnitten legt die Vermuthung nahe, dass dieser 
Kegel C mit dem in No. 21 gefundenen identisch, und dass die Z- Achse eine 
Focallinie von C ist. Um darüber zu entscheiden, transformiren wir die Gleichung 
des Kegels 
2. cot?a.x2 + cot23ß.y? — 22 — 0 
auf ein neues Coordinatensystem, welches dieselbe Y-Achse, und die Gerade X 
zur Z-Achse hat; dann erscheint nur die Ebene XOZ um den Winkel (— 4) 
gedreht, und man hat daher (nach den Transformationsformeln ebener Systeme) 
die Coordinaten x und z in 2. durch die Werthe COSY + X—+-Siny 2, —SINY + X+HCOSY + 3 
Zu ersetzen. 
Hierdurch erhält man aus 2. 
cof? a (cost - x -- sinq- 2)? -- cot?B-y2 — (— siny + x + cosy - 2)? = 0 
oder, besser geordnet, 
N 
  
X