8 y? 
- 1) cos2y — 1 
T 
27) 22 == 0). 
— $22 y) 
sin? a cos? ay? 
le Gleichung 
werden; es 
^ 
vision Zango, 
in? 6 besteht 
Gleichungen 
Gleichungen 
S222 6052 4. 
y. 
Potenz der 
Symmetrie- 
die normal 
symmetrisch 
.egel zweiter 
r kommen 
linien und 
§ 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 
§ 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 
1. Um uns über die Formen der Flächen zweiter Ordnung zu unterrichten, 
wollen wir folgenden Weg einschlagen: Wir betrachten zunächst die Flächen, 
welche drei aufeinander senkrechte Symmetrieebenen haben; hierauf die, welchen 
nur zwei aufeinander senkrechte Symmetrieebenen zukommen; und dann werden 
wir untersuchen, ob es Flächen zweiter Ordnung giebt, die nur eine, oder die 
keine Symmetrieebene haben. 
Soll die Ebene XO Y eine Symmetrieebene einer Fläche II. O. f — 0 sein, 
so müssen zu jedem Punkte 7' der Ebene XOY zwei Punkte P der Fläche 
gehören, die entgegengesetzt gleiche Werthe der Ordinate z haben. Denkt man 
sich also in /— 0 die Coordinaten x und y gegeben, so muss diese Gleichung 
zwei entgegengesetzt gleiche Wurzeln für z ergeben, mithin für z rein quadratisch 
sein. In gleicher Weise schliessen wir, dass die Gleichung f — 0 rein qua- 
dratisch für x und y ist, wenn die Ebenen YOZ und XOZ Symmetrieebenen 
sind. Die Gleichung einer Flüche IL O., die drei auf einander senkrechte 
Symmetrieebenen hat, ist daher in Bezug auf dieselben 
Ax? + Dy? + Fs? + K = 0. 
2. Wir betrachten zunächst die Fälle, dass ein oder mehr als ein Coefficient 
gleich Null ist. 
«j Sind drei Coefficienten gleich Null, z. B. D— F— K —0, so 
reducirt sich. die Gleichung auf 4x? — 0, die Flüche degenerirt daher zur 
(doppelt zu denkenden) Ebene YOZ. Ist 4A = F-— K — 0, so giebt die Gleichung 
die Ebene XOZ; ist 4 = D — Kzz0, so giebt sie die Ebene . X O Y. 
8) Sind zwei Coefficienten gleich Null, so ist zu unterscheiden, ob X 
verschwindet oder nicht. 
Ist K — 0 und noch ausserdem z. B. # = 0, so geht die Gleichung / — 0 
über in 
f = Ax? i Dy? == 0; 
durch Zerlegung findet man 
Die Gleichung / — 0 stellt daher zwei durch die Z-Achse gehende 
Ebenen dar, deren Winkel von den beiden verticalen Coordinatenebenen halbirt 
werden; haben 4 und D dasselbe Vorzeichen, so sind die Ebenen conjugirt 
complex, und enthalten nichts Reales ausser ihrer Schnittlinie, der Z-Achse. 
Ist X von Null verschieden, und z. B. D — # = 0, so hat man 
f= Ax? + K = 0, 
mithin X= V-— K: À. 
Die Gleichung ergiebt zwei reale oder imaginäre Ebenen, die in entgegen- 
gesetzt gleichen Abständen parallel zur Ebene YOZ sind. 
1) Ist ein Coefficient gleich Null, so ist wieder zu unterscheiden, ob 
K verschwindet, oder einer der drei andern Coefficienten. 
Verschwindet z. B. Z, so ist 
f= Ax? -- Dy? -- K = 0. 
Sind 4, D und K von gleichem Zeichen, so wird der Gleichung durch keine 
realen Werthe von x und y genügt. Sind nicht alle Zeichen gleich, so sind zwei 
gleiche vorhanden; man kann dann die Coordinatenbezeichnung immer so wáhlen, 
dass 4 und XK ungleiche Zeichen haben; durch Division der Gleichung durch