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8 7. 
  
Symmetrieebenen der Flüchen zweiter Ordnung. 265 
Hierzu haben wir die Bedingungen aufzusuchen, an welche die Existenz einer 
Symmetrieebene gebunden ist, und nachzusehen, ob diese bei jeder Flüche 
zweiter Ordnung erfüllt werden. 
S 7. Symmetrieebenen der Flàchen zweiter Ordnung. 
l. Zieht man durch einen Punkt Il eine Gerade G, die mit den Coordinaten- 
achsen die Winkel aq, B, 1 bildet, so sind die Strecken 7, welche von 2 bis an 
den Schnittpunkt der Geraden G mit der Flüche II. O. 
Je 4x?--2Bxy--9Cxz-- Dy! --9 Eys -- Fgta- 2Gx--2Hy-r-27z-- K-0 
reichen, die Wurzeln der Gleichung (8 5, No. 9, 3) 
1.76 m © + (Fe'cosa + fileosB + fr'cos Y)r ^ 
-- (deos? a4-9 B cosa cosQ 4- 9 Ccosa cos Tecos B 47 2 Ecos cos t 4- Feos y) r?— 0. 
Wenn der Coefficient von - verschwindet, so ist diese Gleichung rein 
quadratisch; die Gleichung hat dann zwei entgegengesetzt gleiche Wurzeln, und 
der Punkt II ist die Mitte zwischen den Schnittpunkten der Geraden G und der 
Fläche f. 
Die Gleichung 
2. Si'cosa + fleosB + fe'cosy = 0 
ist also die Bedingung dafür, dass P die Mitte der unter den Richtungs- 
winkeln a, 8, v durch Il gehenden Sehne der Flache /-0 ist 
Es giebt unzählig viele Sehnen einer Fläche J, die in einem gegebenen 
Punkte Il halbirt werden. Um die Gleichung der Fläche zu erhalten, auf der 
alle diese Geraden liegen, haben wir cosa, cosB, cosy in 2. durch die Coordinaten 
eines Punkts von & auszudrücken. 
Ist P auf G gelegen und von II um o entfernt, so ist 
  
c i 
*— 6E pcs, Yn = pcosB, oz — = pcosy; 
man gewinnt daher aus 2. die Gleichung der gesuchten Fläche 
9 gs AU a E A a A f hy 
3. Tef-Oo-c-A EI 
Wir haben daher: Die Sehnen einer Fläche II. O., die ‘einen ge: 
gcbenen Punkt Il zum Mittelpunkte haben, liegen auf der Ebene 
D=hE—5 + A 0-9 +AE—D = 0; 
liegt der Punkt II auf der Flüche J, so geht diese Ebene in die Tan- 
gentenebene im Punkte Il über. Dieser Satz kann auch folgende Fassung 
erhalten: Teder Punkt im. Raume ist das Centrum eines durch ihn 
gehenden (realen oder nicht realen) ebenen Schnittes einer Fläche II. O.; 
die Gieichung der Ebene dieser Schnittcurve ist Z— 0. 
Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die Ebene 7'für alle Punkte I1 
des Raumes real ist, also auch dann, wenn keine durch Il gehende reale Sehne 
der Fläche / in II halbirt wird. 
2. Die Gleichung der Ebene 7' wird nur dann unbestimmt, wenn die Coor- 
dinaten des Punktes Il solche Werthe haben, dass die Functionen f; fa Kt 
zugleich verschwinden, wenn also 
AE + Bq + CC 
1. Bt + Dy + EC 
Ct + Ev + FC 
Wenn die Determinante 
| 
—, 
— A, 
— N 
Hd. n C 
A, = |B D E| 
Ic £F 
I 
| 
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