316 Analytische Geometrie. 
Da G; und Æ; von den Coordinaten des Punktes /Æ; nicht abhängen, so ist 
auch À von diesen Coordinaten unabhángig; folglich ist À eine von den Coor- 
dinaten der Eckpunkte des Tetraëders P,P, P,P, unabhiingige Constante und 
kann durch jeden Specialfall bestimmt werden. Wendet man, um A zu erhalten, 
die Gleichung 7 — AA auf das Tetraéder A, A, 43 À, an, so erhält man 
3. did d di XB. 
Wird das Volumen des Achsentetraéders A, Ay Az A, mit 7 bezeichnet, so 
hat man daher die Gleichung 
Z 
D 
i ARN = gh 
Man überzeugt sich leicht, (vergl. 8 3), dass die Determinante A und das 
Volumen P P,P,P, immer zugleich das Vorzeichen wechseln; also gilt in 4. 
nur eines der beiden Zeichen. Um zu entscheiden, welches gültig ist, kann man 
©, Pa P5 P, mit den Ecken des Achsentetraëders vertauschen. Man erfährt dann, 
dass in 4. das positive Zeichen gilt, und hat sonach das Volumen eines 
Tetraëders aus den homogenen Coordinaten seiner Eckpunkte 
[Xii Egy X31 Kar | 
| 
d *12 Fes Hy 349 
  
BARRAS II 
1424374 
h,hzhzh; Xiyp  Xpy  Xag X4g | 
| X414. X94. X34. X44 
S 12. Polarebene und Pol für Flüchen zweiter Ordnung. 
1. Wenn in einer ganzen Function tetraédrischer Punkt- oder Ebenencoordinaten 
der Grad eines Gliedes der Function um Einheiten kleiner ist als der Grad z 
der Function, so kann man dieses Glied mit dem der Einheit gleichen Faktor 
(8 11, No. 3, 3 und No. 6, 3) 
X x x, x; \S D 0. p. 0 0 
[5 = z un X + E ;. bez. mit (© “, + À, Uy + E Us + i 2 ; 
multipliciren; dadurch gehen aus diesem Gliede eine Reihe von Gliedern hervor, 
die alle den Grad z haben. Führt man dies bei allen Gliedern der Function 
aus, deren Grad niedriger ist als 7, SO erhült man schliesslich eine Function, 
deren Glieder alle vom ten Grade sind, die also homogen ist. Bei Be- 
nutzung homogener Coordinaten kann man sich daher auf die Be- 
trachtung homogener Functionen beschränken. 
2. A. Die allgemeine Form einer homogenen quadratischen Function 
tetraédrischer Punktcoordinaten ist 
l. f=d x? + 2419,49 -- 2444 x,x34 4- 244 4x44 + A, 9x + 2.45 333 
+ 24g, 29x, + Ayyx? + 245,353, + Ay x2. 
Geht die Fläche £ = 0 durch den Eckpunkt A; des Achsentetraëders, so 
wird der Gleichung durch die Coordinaten x; = A Xp m x; = X4 = ( genügt; 
also ist 4;; — 0. Die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, 
dem Achsentetraéder umschrieben ist, hat daher die Form 
f = 24,2%, %7 + 24,3%, %3 H- 24,,x,2, -- 2 x, X, 2 2 45,393, 
de 9421394, = 0. 
Wenn die Fläche / —.0 die Gerade 4,4, enthält, so wird der Gleichung 
durch x, = x, = 0 unabhängig von x; und x; genügt, es ist daher 
Ai; = Air = Apr = 0. 
Enthält die Fläche alle Seiten des unebenen Vierecks A, AA; Ar; 
so ist daher 
welche 
2. 
       
     
  
    
  
  
  
   
  
  
  
  
   
      
   
  
   
  
   
     
         
  
  
     
    
    
   
  
  
  
  
  
  
  
   
   
A 
und die 
Die 
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B. 
tetraëdri 
9 = 
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