332 Analytische Geometrie. 
Polartetraéder über, so ist auch in der neuen Gleichung (No. 17) die Summe 
der Coefficienten der positiven Einheit gleich; ferner enthált auf Grund des 
soeben bewiesenen Satzes die neue Gleichung ebensoviel positive Coefficienten, 
als die ursprüngliche. 
Die Flächen ordnen sich daher in drei Arten, je nachdem A. ein positiver 
Coefficient und drei negative, oder B. drei positive Coefficienten und ein nega- 
tiver, oder C. zwei positive und zwei negative vorhanden sind. 
A. Sind unter den Coefficienten drei negative, so kann man die Gleichung 
schreiben 
9 == DNE — 5$u, — ógQul — hug zo. 
Die Coordinaten £; des Centrums sind 
= HA 8g, mm MAS M9 —bHEI = — bh, 
das Centrum liegt daher in jedem Polartetraéder in einer Gegenecke 
einer Tetraéderecke. 
Die Gleichung der Flüche in Punktcoordinaten ist 
El ri od Oe loo 0 
feu 034375 — 332375 7 334174 7 € 
Setzt man hier die Coordinaten des Centrums ein, so erhält man 
ZG. T Za E.) EX o TEM bef EE of RT a EE 1, 
nach der über die Coefficienten von e gemachten Voraussetzung. Da nun für 
die Coordinaten 4,, 4,, 4,, A, des Coordinatentetraëders die Function f die 
Werthe erhält 
1:602, — 1:82, — 1:02, — 1:71, 
so folgt, dass das Centrum JM und die Ecke À, auf derselben Seite der Fläche 
liegen, während A,, 4, und 4, mit M nicht auf derselben Seite liegen. 
bons 
Verbindet man das Centrum mit einem Punkte 2, der Ebene 4,4, 4,, so 
bestimmt sich das Verhiltniss, in welchem die Strecke MP, von der Fläche 
getheilt wird, aus der Gleichung No. 4, 1, wenn man darin 
6252 51 025372 525273 02524 ; 
fir xz; die Coordinaten £; des Centrums, sowie x;, = 0 setzt, weil 2, auf 
Ag Ay A, liegt. Demnach hat man 
f zm BEE DIRE 
JS1 = S En So Es 4) = 1, 
Xo: Lao Ao 
Ex ^ rp C 5g : g»] ; 2 22 32 "42 
Zu ty. fu Xf Wy Sy MEE fn p. dm 
Na La AL. 
Daher wird die Gleichung für A, : A, 
x a ^2 625 22 222 32 52A 42 
Hieraus folgt 
1/ l 1 l 
da + da = Ip Vı + YT. x2, + 34i X24 4- En? x1 
also wird der Gleichung unabhángig von der Wahl des Punktes 2, durch zwei 
reale Verhültnisse A, : A4 genügt, jede durch das Centrum und durch einen Punkt 
der Ebene 4,44,.4, gelegte Gerade, d. i. jede Gerade durch das Centrum 
schneidet die Flàche in realen Punkten. Hieran wird die Fläche als 
Ellipsoid erkannt. 
B. Sind drei Coefficienten positiv und einer negativ, so kann man setzen 
0 = blu? + blu, + dêus — bou O0 
Die Coordinaten des Centrums sind 
f= 02h, By = 0a, = HR, 4 = — Ohr. 
"Ó 
        
       
     
  
  
  
   
    
    
        
  
  
     
   
   
  
     
    
   
     
    
    
    
   
    
    
    
    
     
      
      
     
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