Analytische Geometrie. 
Daher liegen zwei Ecken A,, 4, jedes Polartetraéders mit dem Centrum 
auf derselben Seite der Fläche, die beiden andern 4,, A, werden durch die 
Fläche vom Centrum getrennt. Das Centrum liegt, da zwei Coordinaten positiv, 
die andern beiden negativ sind, in einem an einer Kante anliegenden zwei- 
eckigen Raume. Giebt man f die Form 
f == ls ap 24 s x d ^ I ^ | 
T. by 7g es bg ls 3 0174 mg bs a | 
1 1 1 1 
-- [s A 9 - b A, %) (rr Wa = b A, x) — 0, 
und setzt 
1 ] 1 1 
Tp 4c > 4%, = T Ky x, == TE 
bi fy 1 bh. * 12 DA. * bi 1 1 
171 2/55 2/9 474 
1 1 T 1 1 p 
Xm WX. c £ULAMY.em 7 Xe — —- X, mS — 1, 
57 57; 5 2 5,53, 72 bly 2 
so wird der Gleichung der Fliche durch die Punkte geniigt, fiir welche bei will- 
kürlicher. Wahl des Verhältnisses w, :p, die beiden Gleichungen gelten 
TI val TI 7 | 
ply =:0,71,, BT uu, 7... 
welche also den beiden Ebenen gemeinsam sind 
77 y Va as ) pie gd gd 
1= ml 5.75 — 0, 7, = p,7, al, = 0. 
Diese Ebenen sind entsprechende Ebenen zweier projectiven Ebenenbüschel, 
in denen 7, und 7, den Ebenen 7 
und 75' entsprechen. 
Dies charakterisirt die Fläche als einschaliges Hyperboloid. 
20. Ist in der Gleichung 
9 = Bu? + Bou? + B,42 + Bu? = 0 
kein Coefficient Null oder unendlich und die Summe der Coefficienten 
B4 = Ba + Pa "i By = 0, 
so sind die Coordinaten des Centrums unendlich gross, und die Fliche 
ein Paraboloid (No. 14). Alsdann haben entweder drei, oder zwei Coefficienten | 
gleiche Zeichen. 
A. Haben drei Coefficienten dasselbe Zeichen, so kann man die Gleichung | 
2 | 
schreiben | 
9 = bul + bul -- bug — PQug —O0. 
Daher ist die Gleichung in Punktcoordinaten 
f 1 $4 1 > 1 > 1 » 0 
m 15275 X2 + 175 X2 +5522 — os a2 = 0. | 
229 í 3953 4$ 7052722 "1 2752 "4 
bE hi 0242 6222143 02i | 
Setzt man in beiden Gleichungen der Reihe nach z, — 0, x, — 0, so er- | 
giebt sich 
1 
ógug2 -- b2u2 -- b2u2 — 0 bez =a + 1925 X2 ++ —— «2 =0. 
D^ 2°a 55 ’ eds $29 40. 337373 272 *3 
ds bj 63 ^3 63 hi 
Beiden Gleichungen kann durch reale Werthe des Coordinaten nicht ge- 
nügt werden. Wir sehen daher: In jedem Polartetraéder giebt es eine 
Ecke, durch welche sich keine realen Tangentenebenen der Fláche 
legen lassen, und die dieser Ecke gegenüberliegende Seite des 
Tetraéders hat mit der Fláche keine realen Punkte gemein. 
Hierdurch ist das elliptische Paraboloid charakterisirt; denn eine gerad- 
linige Fläche wird von jeder Ebene in realen Punkten getroffen, und sendet 
durch jeden Punkt des Raumes reale Tangentenebenen. 
Für die Coordinaten der Ecken des Achsentetraéders nimmt die Function / 
die Werthe an 
      
    
    
       
    
     
   
   
    
    
      
    
    
  
  
   
   
  
    
   
     
   
    
   
    
   
   
    
  
  
    
   
Hier 
trennt si 
schneider 
PB. 1 
Gleichun 
Die 
Man 
No. 19, C 
Parabol 
Für 
Dahe 
trennt, wi 
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innerhalb 
Bezug au 
Fläche in 
21. 
welche 
Wir 
Gleichung 
Die I 
7t: 
ZL = 
Soller 
durch Mul 
die Gleich 
1. 
Reduc 
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setzt man «