Analytische Geometrie. 
2. und der Hyperbel pem ] 0. 
Substituirt man den für y bez. x aus 1. folgenden Werth in 2., so erhält man 
für die Coordinaten der Schnittpunkte die quadratischen Gleichungen: 
  
  
  
3 25 9 a?u a? (1 + 620?) 
: X? —9.——3— % T — 2. m 
^" qu? — D?y? a?u? — b?v? : 
b2v 02 (1 — a?u?) 
4. 2 == 2 ET A y e NCERQGU BOLETOS 0. 
+ 22u? — Bor) 7 au? — Do? 
Zu jeder der beider Wurzeln a4' und x" der 3. Gleichung gehört gemäss 
der Gleichung 1. eine bestimmte Wurzel y' bez. y" der Gleichung 4. Man 
sieht daher: Eine Gerade und eine Hyperbel haben nicht mehr als 
zwei Punkte gemein. 
Die Coordinaten & n der Mitte der auf 7' liegenden Hyperbelsehne sind 
vit zd 4a) n4 T7 
mithin nach 3. und 4. 
: au EE dal ist 
5. Rumi 6177975 n = — —————— ; daher is 
« eu M au? — b2y2 ? 
N bh? ? 
6. Da 
Ë a? u 
Parallele Hyperbelsehnen haben dasselbe Verhältniss 7v: , also ihre Mitten 
dasselbe Verhiltniss n:£ Daher der Satz: 
^ Die Mitten paralleler Hyperbelsehnen liegen auf einer Geraden, 
die durch den Schnittpunkt der Symmetrieachsen geht. 
Hieraus folgt weiter, dass jede durch den Punkt O gehende Hyperbelsehne 
in O halbirt wird. Man bezeichnet daher O als Centrum, und jede durch O 
gehende Gerade als Diameter der Hyperbel. 
Ist fiir eine Schaar paralleler Hyperbelsehnen 7:# 7, so ist die Gleichung 
des zur Schaar gehórenden (mit den Sehnen der Schaar parallelen) Diameters A 
nach No. 15, 7. 
7. X + Yy = 0. 
Die Gleichung des Diameters A,, der die Mitten der Sehnen dieser Schaar 
enthält, ist nach 6. 
8. Ace l= 0. 
Der Diameter, auf dem die Mitten der zu A, parallelen Sehnen liegen, ist 
nach 7. und 8. 
9 
X EE yzz0, d. i xr qy— 0, 
22. 6 
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es ist dies der Diameter A. 
Enthält also ein Diameter A' die Mitten der zum Diameter À 
parallelen Sehnen, so enthält auch A die Mitten der zu A' parallelen 
Sehnen. Die Beziehung zweier solcher Diameter ist daher reciprok. Man 
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bezeichnet zwei solche Diameter, deren jeder die Mitten der zum andern paral- 
lelen Sehnen enthilt, als conjugirte Diameter der Hyperbel. 
Lässt man A der Reihe nach mit den X-Achsen und den beiden Asymptoten 
zusammenfallen, so erhält y die Werthe 0, a: 4, — a: à, also wird die Gleichung 
des conjugirten Diameters 
a a 
y=0 bez. x +7 = 0, bez. %#— 57 0, 
und man sieht daher: 
    
  
   
   
  
    
     
     
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
     
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