nung der
nents der
'erthe an-
Flächen
d hat II,
wf T.
‘3, s0 be-
2). deren
derselben
n. Diese
welchen
me Paare
unktes II
1 Punkte;
, so sind
larebenen
dass die
ı A erfüllt
g C -0
iciren, in
le beiden
de Polar-
er Punkte
olarebene
'traéder.
s Tetraé-
sind zwei
, die Ge:
ilden zwel
conjugirte
3leichungen
1 in Bezug
, pao me
22 =0
A 16) == Q,
‘erhältnissen
er Aufgabe.
iprechenden
Coordinaten
«te dieselbe
8 12. Polarebene und Pol für Fláchen zweiter Ordnung. 337
Gerade. Hat C — 0 keine reale Wurzel, so sind die gleichbezifferten Coordi-
naten je zweier Punkte, welche einem Paare conjugirt complexer Wurzeln von p.
zugehóren, conjugirt complex; daher werden auch die Gleichungen der Polar-
ebenen zweier solchen conjugirt complexen Punkte conjugirt complex.
Aehnlich, wie die Bemerkungen über conjugirt complexe Punkte und Geraden
in der Ebene, leitet man die Sátze ab: Zwei conjugirt complexe Punkte
genügen den Gleichungen einer durch sie bestimmten realen Geraden.
Zwei conjugirt complexe Ebenen haben eine reale Schnittgerade.
Daher schliessen wir: Zwei Flächen IL O. haben in jedem Falle ein
Paar reale conjugirte Gerade gemein.
Diese Untersuchung kann auch mit Hülfe der Gleichungen in Ebenen-
coordinaten durchgeführt werden.
Sind du? + dzuß + dyug + drug = 0
und 61174. + 2c 0009 +... +c ul = 0
die Gleichungen von # und / in Ebenencoordinaten, .so erhält man die Coordi-
naten der Ebenen, deren Pole für / und Z zusammenfallen, aus drei Gleichungen
des Systems
(644 — Ad, ) #4 + 6199 97d^ €4134 a + 61444 = 0,
5 Cray + (Cog — Ade) us + bogty + Coyu, = 0,
9. i f ) = — (
£189, 7E C339 + (C33 — Ady) uy + cy, uy = 0,
C14%1 + C94%9 + C34%3 + (644 —\d,)@, = 0,
wobei À eine Wurzel der Gleichung ist
leur Ad, ‘19 ‘13 C14 |
; T £19 £937— Mf ‘as ‘24 | xis
6. == Ad =.
‘13 ‘23 C337 ^03 C34
C14 ‘94 C34 £44— d,
Die Gleichungen C — 0 und l' — 0 haben daher immer die gleiche
Anzahl reale Wurzeln.
22. Die soeben mitgetheilte Untersuchung hángt aufs Engste zusammen mit
der Frage nach den Kegeln IL O., die durch die Schnittcurve zweier
Fláchen IL O. gehen, sowie mit der Frage nach den Grenzflichen IL KL,
die den gemeinsamen Tangentenebenen zweier Flüchen IL Kl. einge-
schrieben sind; oder allgemeiner: mit der Frage nach den Kegeln IL. O., die
zu einem Flüchenbüschel IL. O. gehóren, bez. nach den Grenzflächen, die zu
einer Schaar von Flichen II. KI. gehoren.
Sind / und / zwei quadratische Functionen in Punktcoordinaten
S= ay xf + 20,020) +... +a, x2,
£m by Af + D652, % + 54.2,
So versteht man unter einem Flichenbiischel II. O. die Gesammtheit aller
Flächen, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind
2. m= hf Fe,
Alle Punkte, für welche f= 0 und zugleich /— 0, genügen auch der
Gleichung ¢ = 0. Jede Fläche des Büschels enthält also alle den Flächen sm
und 7 — 0 gemeinsamen (realen oder imaginären) Punkte.
Umgekehrt: Alle Flächen II. O., die durch eine gegebene Raumcurve IV. O.
l. Sp. gehen, bilden ein Büschel Denn es ist in 8 9, No. 3 nachgewiesen
worden, dass die Gleichung jeder dieser Flächen die Form 2. hat, wobei f — 0
und # = ( die Gleichungen zweier bestimmten, die Raumcurve enthaltenden
Flüchen IL O. sind. Ferner folgt aus $9, No. 2: Durch acht Punkte, die nicht
ScuLoEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 22