340 Analytische Geometrie. 
Büschel oder der durch beide Flächen bestimmten Schaar zusammen. Alle 
Flächen II. O., die ein Büschel oder eine Schaar bilden, haben also 
ein gemeinsames (reales oder imagináres) Polartetraéder. 
24. Bezieht man die Gleichungen der Flüchen eines Biischels oder einer 
Schaar auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem, welches eine gegebene Ebene 
zur X Y-Ebene hat, und setzt in der Gleichung einer Fläche des Büschels bez. 
der Schaar z = 0, bez. w = 0, so erhält man die Gleichung des Kegelschnitts, 
in welchem ¢ von der XY-Ebene geschnitten, bez. in welchem @ von dem 
unendlich fernen Punkte der Z-Achse aus auf die X Y-Ebene projicirt wird. 
Bezeichnet man die linken Seiten der Gleichungen dieser Kegelschnitte 
dadurch, dass man die linke Seite der Gleichung der betreffenden Fläche in 
Klammer setzt, so hat man 
@ = XU) + (0 — 0. 
Hieraus folgt: Die Fláchen eines Büschels werden von einer Ebene 
in Kegelschnitten eines Büschels geschnitten. ‚Die Flächen einer 
Schaar werden von einem unendlich fernen (ebenso wie von einem end- 
lich fernen) Punke aus in Kegelschnitten einer Schaar auf eine Ebene 
projicirt. 
Dies ergiebt sofort: Die Flächen einer Schaar werden von einer 
Geraden in Punktpaaren einer quadratischen Involution geschnitten; 
die Involutionen auf allen Geraden sind projectiv, und zwar ent- 
sprechen sich je zwei derselben Fláche angehérige Paare von Schnitt- 
punkten; ferner sind diese Involutionen den Punktreihen projectiv, 
in denen die Flächen des Büschels die Geraden schneiden, die durch 
einen gemeinsamen Punkt der Fláchen des Büschels gehen. 
Die Flächen einer Schaar werden von einer Geraden aus von 
Ebenenpaaren berührt, die eine quadratische Involution bilden; 
diese Involutionen sind projectiv, und zwar entsprechen sich die 
Paare, welche dieselbe Fläche berühren; sie sind ferner mit den 
Ebenenbüscheln projectiv, deren Ebenen die Flächen der Schaar be- 
rühren und deren Träger auf einer gemeinsamen Berührungsebene 
der Fláchen der Schaar liegen. 
25. Wenn f und # und ¢ drei von einander unabhängige quadratische 
Functionen in Punktcoordinaten sind, so kann man durch drei willkürliche Zahlen 
À,, Àg, A4 neue quadratische Functionen von der Form bilden 
l. b= M/S + LIF + Me. 
Die Gesammtheit der Flichen ¢ = 0 bezeichnet man als ein Flächenbündel. 
Die Gleichung ¢ = 0 wird von den Gruppen von Coordinaten erfiillt, welche 
.dem Vereine von Gleichungen 
f=, #f=0, o= 0 
genügen. Hieraus folgt: Alle Fláchen IL O. eines Bündels haben acht 
gemeinsame Punkte. Umgekehrt: Die Fláchen II. O., die durch sieben 
gegebene Punkte gehen, bilden ein Bündel. Denn nach 8 9, No. 6 hat 
jede solche Fläche eine Gleichung von der Form l1. wobei die Functionen 
f, F, e durch die sieben gegebenen Punkte bestimmt sind. Durch die gege- 
benen sieben Punkte ist noch ein achter Punkt bestimmt, der allen Fláchen des 
Bündels angehört. 
Die Gleichung der Polarebene eines Punktes P, in Bezug auf die Fläche 4 
eines Bündels ist 
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
   
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
   
   
    
   
   
  
  
  
  
   
   
   
    
    
    
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
   
  
   
     
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