Weitere 
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8 14. Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbiindel und Strahlenbiindel. 345 
Die Polarebene von P in Bezug auf jede Fliche des Biischels 1, . . . 8 geht 
daher durch die beiden Punkte 7' und Z", die dem Punkte 2 in Bezug auf 
die Bündel 1, . . 6, 7 und 1, . . 6, 8 conjugirt sind. 
Man hat somit auf linearem Wege die Gerade 7'7" gefunden, 
durch welche alle Polarebenen des Punktes 2 in Bezug auf die 
Flächen des Büschels 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8 hindurchgehen. 
7. Die durch die neun Punkte 1, 9, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bestimmte Fläche 
II. O. / gehórt dem Bündel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sowie dem Bündel 1,9,3,4,5,6,8 
und dem Bündel 1, 9, 3, 4, 5, 6, 9 an; die Polarebene von 2 in Bezug auf f 
geht daher durch die Punkte P', P", P'"" die dem Punkte 2 in Bezug auf 
diese drei Bündel conjugirt sind. : 
Hiernach ist die Polarebene eines Punktes in Bezug auf eine 
durch neun Punkte bestimmte Fláche IL O. linear construirt. 
8. Construirt man so die Polarebene eines Punktes P der Ebene L 3, 3, 
so ist ihre Spur auí dieser Ebene die Polare von 2 für den auf 1, 9,,3 liegenden 
Kegelschnitt von /. 
Durch die Punkte 1, 2, 3 und die Polare von 2 ist dieser Kegelschnitt 
bestimmt und kann linear construirt werden. 
Von diesem Kegelschnitte aus kann nun die Construction der Flüche wie 
in No. 2 fortgesetzt werden.*) 
§ 14. Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und 
Strahlenbündel. 
1. Sind P,, P,, P, drei von einander unabhängige lineare Functionen in 
(homogenen oder gewöhnlichen) Ebenencoordinaten oder Liniencoordinaten, so 
kann die Gleichung eines vierten Punktes P, der Ebene P, P, P, bekanntlich in 
der Form geschrieben werden 
PR, = a, P, + ay, Py + ds By zm, 
wobei das Verháltniss a, : 25:4, durch die Lage von P, eindeutig bestimmt ist. 
Aehnliches ergiebt sich für die Geraden einer Ebene und für die Ebenen 
eines Ebenenbündels, d. i. für die Ebenen, die durch einen Punkt (den 
Träger des Bündels) gehen. 
Sind nàmlich 71, 73, 73 drei von einander unabhängige lineare Functionen 
in gewöhnlichen oder in homogenen Punktcoordinaten, so kann man eine lineare 
Function 
3. Te GT, o 474 4 0,74 — 0 
durch geschickte Wahl des Verhältnisses 41:09:44 SO bestimmen, dass der 
Gleichung 7 — 0 durch zwei willkürlich gewählte Punkte P, und 2, genügt 
wird. Bezeichnet man durch 7;, und 7;, die Werthe, welche die Function 
7; annimmt, wenn man in ihr die variabeln Coordinaten durch die Coordinaten 
von Z^, bez. P, ersetzt, so hat man 4,, 4$, 44 so zu wihlen, dass die beiden 
Gleichungen erfüllt sind 
g 7 A aa Ty ay Top = 0, 
4,119 + A, 199 + a4 334 — 0. 
*) Hesse, CRELLES Journal Bd. 24, pag. 36 (1842). Mehrere Methoden zur Construction 
des achten Schnittpunkts dreier Flächen II. O., der Schnittcurve zweier Flüchen IL. O. aus acht 
Punkten, sowie einer Fläche IL. O. aus neun Punkten findet man zusammengestellt und bear- 
beitet in der Abhandlung des Verfassers: Die Construction einer, Fläche II. O. aus 
neun gegebenen Punkten und verwandte Constructionen, Leipzig 1881.