Differentialrechnung. 
Ist z. B. f(x) = x2, so ist. f(x + Ax) 2 x? -- 9xAx + Ax?, und daher 
2xAx -- Ax?. 
Für alle endlichen Werthe von x wird dieser Ausdruck verschwindend klein, 
sobald Ax verschwindet; daher ist x? (und allgemein jede Potenz von x mit 
positivem Exponenten, wie man mit Hülfe des binomischen Satzes leicht nach- 
weist) für alle Werthe der Variabeln eine stetige Function. 
Ist ferner f(x) = sinx*) so ist 
Sx + Ax) = sin (x + Ax) = sinxcosAx + cosx sinAx. 
Daher ist 
     
Ay = snir(cuAx.— 1) + cosx sinAx. 
Wird Ax verschwindend klein, so verschwinden cosAx — 1 und sinAx, also 
auch Ay. Hieraus folgt, dass sinx für alle realen Werthe von x eine stetige 
Function von x ist. 
Anders verhält sich die Function 
1 
fi) = Ao 9: 
Man erhält f(x + Ax) 1:(x + 4Ax — 2) und daher 
1 1 Ax 
Ay um UU US Uni. Em ERU a T ACIE. 
x + Ax — 2 x — 2 (x + Ax — 2) (x — 2) 
Wenn Ax verschwindet, so geht der Nenner in den Werth (x — 2)? über. 
So lange x von 2 verschieden ist, ist dieser Nenner von Null verschieden; da 
nun der Zähler Ax verschwindet, so verschwindet auch Ay. Für alle von 2 ver- 
schiedenen Werthe von x ist also die Function 1: (x — 2) stetig. 
Für x — 2 werden aber, wenn Ax verschwindet, Zühler und Neaner von 
Ay zugleich Null; für einen Werth von x, der um einen verschwindenden Betrag 
kleiner als 2 ist, hat 1:(x — 2) einen verschwindend kleinen negativen Nenner, 
ist also von unendlich grossem negativen Werthe; setzt man hingegen für x eine 
Zahl, die um verschwindend wenig grósser ist, als 2, so ist der Nenner von 
1:(x — 2) verschwindend klein und positiv, also hat f(x) einen unendlich 
grossen positiven Werth. Die Function 
1 
NE 
erleidet daher an der Stelle x — 9 eine Unterbrechung der Stetigkeit, indem für 
x = 2 die Function von — co zu + co überspringt. 
e 5 
A : ; - A Du: TT 
Die Function y = Zangx wird an den Stellen x — 208. Es 
21 2.2 
unstetig, denn an diesen Stellen springt y von + eo auf — oo. 
Die Function y = (— a)*, wobei unter a eine positive Zahl verstanden 
werden soll, hat für x — 0 den Werth y — 1 und für x — 1 den Werth y — — a. 
Bezeichnet z eine Primzahl (die wir uns beliebig gross denken kónnen), und 
giebt man der Variabeln x der Reihe nach die Werthe 
] 9 3 4 7n— 1 
T.) iy 04 TRL, 
n! uy iy) ntt yy 
so erhält t der Reihe nach die Werthe 
*) Unter x soll hier nicht ein Winkel, sondern der Arcus eines Winkels verstanden werden, 
d. i. der Bogen, der vom Scheitel eines Winkels aus zwischen den Schenkeln beschrieben ist 
und die Längeneinheit zum Halbmesser hat; ist «€ der Winkel, dessen Arcus die Grösse x hat, 
so ist x — T - © : 180, wobei € in Graden auszudrücken ist. Dasselbe gilt für die übrigen 
goniometrischen Functionen. 
     
    
   
  
   
  
   
   
   
  
  
  
   
    
  
   
     
  
   
    
    
  
   
  
  
      
  
  
   
   
  
  
   
   
   
   
   
   
   
   
  
  
   
    
   
   
     
       
   
   
    
       
      
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3. N 
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so ist die 
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Fig. 470 
(zwischen. 
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