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e Punkt (x, y) 
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id y gegebene 
die Gleichung 
en der unend- 
  
8 4. Liniencoordinaten. 27 
lich. vielen Geraden 7 erfüllen müssen, die durch den gegebenen Punkt 
gehen. Die Gleichung E&#+nv—1=0 ist daher die Gleichung des 
Punktes & n in Liniencoordinaten. 
Die Gleichung «z —1-—0 wird von allen Geraden erfüllt, für u= 1:0, 
während v, das in der Gleichung nicht vorkommt, unbestimmt bleibt; sie ist also 
die Gleichung des Punktes ,S, der Abscissenachse, für welchen OS; = a; ebenso 
ist ersichtlich, dass 82 — 1 — 0 die Gleichung eines Punktes der Ordinatenachse 
ist, und zwar des Punktes S,, für welchen O.S, — f. 
Die Gleichung az + B32 = 0 sagt aus, dass das Verháültniss v: den ge- 
gebenen Werth — a: hat. Alle Geraden, deren Coordinaten ein gegebenes 
Verhiltniss haben, sind parallel. Man kann von ihnen sagen, dass sie durch 
einen und denselben unendlich fernen Punkt gehen, der durch die Richtung 
einer Geraden bestimmt ist, auf der er liegt. 
Die Gleichung ax+ßy==0 ist also die Gleichung eines in be- 
stimmter Richtung liegenden unendlich fernen Punktes. 
3. In 8 3, No. 18 und 21 haben wir die Gleichungen a?z? 4- 0?o? — 1 — 0, 
und a2u? — 52p2 — 1 — 0 als Bedingungen für die Coordinaten einer Geraden 
gefunden, welche eine Ellipse, bez. Hyperbel berührt Wir können dies nun 
so ausdrücken: 
Die Gleichungen der Ellipse und Hyperbel in Liniencoordinaten, 
bezogen auf die Symmetrieachsen als Coordinatenachsen, sind: 
1. für die Ellipse: a?u? + bo? — 1 — 0, 
9. für die Hyperbel: a?z? — 5?2? — 1 — 0. 
Ebenso folgt aus 8 3, 14 die Gleichung der Parabel in Linien- 
coordinaten, bezogen auf die Symmetrieachse und die Scheiteltangente als 
oordinatenachsen: 
e o 
Qu + v? — O0. 
4. Wir haben aus der Gleichung einer Geraden 7' und aus der Gleichung 
einer Ellipse in Punktcoordinaten die Coordinaten der Punkte bestimmt, welche 
die Gerade und die Ellipse gemein haben. Für Untersuchungen in Linien- 
coordinaten haben wir die analoge Aufgabe: Aus der Gleichung eines Punktes P 
1. £u 4-29 —1-—0 
und der Gleichung einer Ellipse in Liniencoordinaten 
9. a?u? -- 029? — ] —0 
die Coordinaten der Geraden zu bestimmen, die durch den Punkt P gehen und 
die Ellipse berühren. 
Diese Coordinaten genügen den Gleichungen 1. und 2., sind also die 
Wurzeln dieser beiden Gleichungen. 
Aus der ersten entnehmen wir 2—(1—6z):», #=(1—n97):E, sub- 
stituiren dies in 2. und erhalten nach einfachen Reductionen quadratische 
Gleichungen für z und v: 
  
Sy p qb— 
"u-—95.x717:272 ^7" ae = = 0, 
5262 + a°n° b2E2 + an? 
2. £9 2 
a — a4 
92 — 1 > 
Tr Ur 1620 7 739: 9 == 
“6782 + a2? 0262 + an? 
Die Gleichungen ergeben die Lösungen 
3 4' und z" S in (8 EL a0N S i — 2-1) 
nebst den der Reihe nach zugehörigen