zen, deren
ren Bogen
ihr erhält
Werth von
| Are sin x
SO dass
— nig
en Bogen,
lenselben
lon. Für
us gleich
zeichnen,
aus zu
S diesen
e unend-
man hat
§ 3. Differentiation zusammengesetzter und unentwickelter Functionen. 393
Die Grósse V — x2 stellt in Arcsinx und Arc cosx den Cosinus, bez. den
Sinus des differentiirten Bogens dar; hiernach ist das Vorzeichen der Wurzel in
jedem Falle eindeutig bestimmt.
Hieraus folgt z. B., dass in den Fillen
dx dx
d'arc sinx — roy darc cosx = ————
V1 — x?
der positive Werth der Wurzel zu nehmen ist.
15. Differentiation von Arctangx. Unter Arctangx versteht man den
Bogen, dessen Tangente gleich x ist. Für jeden realen Werth von x giebt es
reale Werthe der Function 4c /uzgx, und zwar unendlich viele. Bezeichnet man
mit Arc fangx den zwischen — 4x und + 4x gelegenen Bogen, dessen Tangente
gleich x ist, so dass also
— iz © arciang x < + Lx,
so findet man alle môglichen Werthe von arc fangx aus
Arctang x = arctangx + kt.
d
Aus dtange = ug — findet man
cos? o
do = cos?y - dtange.
Setzt man nun ange = x, so ist x = Arc ange und cos? =1: (1 + tang?)
= ]:{1 + x2). Daher hat man
dx d Arc tang x 1
d Art tang x == i x) x mda).
§ 3. Differentiation zusammengesetzter und unentwickelter Functionen.
l. Differentiation einer Summe und einer Differenz. Sind z und v
zwei Functionen von x, so ist
d (wu + v) a m “+ du x (v + 49) — (u 3: v) i du i dv
dx dx dx dx
Daher ist
E = T + e oder dan) — du + du.
2. Differentiation eines Polynoms. Ist
Jo — A, U, + Ag + az; + .. + Ann,
und bedeuten a,, 44 .. &, constante Coefficienten, hingegen z4, 4, . . . u,
Functionen von x, so ist
/
dy an E ay (uy + dug) +. . + an (un + du,) — (a 0; +. . + Ann)
dx 4x
; du, du, dun
= lim\ a, Ta th gett TÉ
Hieraus ergiebt sich
dy du, du, du du,
ds Tr Trg A
Oder
dla, uw, + Ag Ug + AU, .. + Ann) = A, du, + a, du, + As dus +... + a,du,.
Hiernach ist z. B. (vergl. § 2, No. 4)
Al + x + 28 + 43 + at +. +20) == (1 + 20 + Ba? + da3 + + nx"1)dx,
den 4(1)—0, da=dx, da? = dxdx, dx = 3x2dx u. 5 Ww.
3. Differentiation eines Produktes.
