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8 4. Differential einer Function mehrerer Variabeln. 
Ó f; 
0X, 
ergänzen das System von Elementen 
Aud Was 0. Sam 
fu s 5 uA. 
2. Ju de fei: Tan 
  
Em f, 
Z3 3390.49... fL 
durch Hinzufügung einer Zeile ganz willkürlicher Elemente ze», , Way Way x es Wr ZU 
einem Systeme von z? Elementen, und bilden die Determinante .S dieser Ele- 
mente, sowie die Coefficienten Æ,, Æ,, Az, ... R,, welche die Elemente 
w,, Wy, Wy, . . W, in dieser Determinante haben; Æ; ist die Determinante, 
deren Elemente aus 2. hervorgehen, wenn man die Ate Colonne weglüsst und 
die bleibenden geeignet ordnet. Unter diesen Voraussetzungen ergiebt 
sich für die Differentialverhältnisse die Proportion 
3. da, AN ida,” AS RL RR 
Setzt man fiir dx,, dx,, dx; ... dx, die proportionalen Werthe Ai 
KR, .. . Æ, in die ite Gleichung des Systems 1. ein, so erhält man 
Fa 4, e Jig Ry + fis F3 cu 5 Fin En 
Dieser Ausdruck geht aus der Determinante S hervor, wenn man darin die 
Elemente w,, w,, . .. w, der Reihe nach durch /#,, fras - : fm ersetzt, ist 
also eine Determinante, deren letzte Zeile mit der zten identisch ist, und es ist 
daher 
Tir By fig By + fra Ma + +1 + Fu a — 0. 
Die der Proportion 3. geniigenden dx, dx, .. dx, erfüllen also in der 
That die Gleichungen 1. 
9. Wenn die z Gróssen x,, x,, .. x, den x unabhängigen Bedingungs- 
gleichungen genügen 
l. J1 =, Ja = 63, Ka => Cay ln = eu, 
Wobei die c; gegebene Constante sind, so sind die x; nicht mehr variabel, son- 
dern diese z Gleichungen werden nur durch eine beschrünkte Anzahl bestimmter 
Werthsysteme von x,,... x,, den Wurzeln des Systems 1., erfüllt. Da mit 
den Gleichungen 1. eine Variabilitit der Gróssen #15 ar - X, nicht mehr ver- 
tráglich ist, so sind die Gleichungen 
Jardw, +12 40% + ++ ++ Fan da — 0, 
; 191 1%, + faa d%a + iv + Fondo, = 0, 
Toy dx, + fs dx, sd Jum dx, = 0 
nur durch die Werthe dx, == dx, == dxg ==... . dn, = 0 zu befriedigen. 
Hieraus folgt, dass die Determinante 
| £11 Fin: fan 
| 
| 791 Sag tust San 
I 
f . . . . 
| 24 Sra DD Jn | 
von Null verschieden ist. Diese Determinante, deren Zeilen von den partialen 
Differentialquotienten der Functionen Fa: Far + < fm gebildet werden, heisst die 
Functionaldeterminante der Functionen JA...» Wir haben daher den 
Satz: Wenn durch die Gleichungen /, — e, f = C9, .. fan = ¢, die 
Grôssen %, X9) X45). . XQ bestimmt sind, so ist die Functional- 
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