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Differentialrechnung. 
determinante der Functionen F1» Jar F3» + «nicht identisch gleich 
Null. 
Wenn die Functionaldeterminante / identisch (d. h. unabhängig von den 
Werthen der x,, X, ... X„) verschwindet, so sind die in Bezug auf die Un- 
bestimmten Zx,, Zx4, . . 4x, linearen Gleichungen 1. nicht unabhängig von 
einander; es ist entweder eine Gleichung eine Folge der übrigen, und dann kann 
man (z—1) der Gróssen Zx,, 2x4, . . . durch die ate ausdrücken, so dass alle 
72 unbesümmt bleiben, aber ihre Verhiltnisse bestimmt sind; oder zwei der 
Gleichungen 1. folgen aus den übrigen, und dann kann man (n—2) der Grössen 
4x, .. durch die übrigen beiden ausdrücken, u. s. w.- In diesem Falle haben 
die Verháltnisse der die Gleichungen 1. befriedigenden Gróssen bestimmte oder 
nicht völlig bestimmte Werthe; die Grössen X1; X9, X3, . . . x, sind alsdann 
trotz der z Gleichungen /, — Jo =. = f, == Q noch variabel .Hieraus 
folgt weiter, dass in diesem Falle diese Gleichungen 1. die Gróssen x, , . . . x, nicht 
vôllig bestimmen, dass also zwischen den Functionen Lis Lav» Ja ete odér 
mehr als eine Gleichungen bestehen, welche die Grôssen X4, . . X, nicht expli- 
cite enthalten, die also von der Form sind 
T Las F3» see Sn) = 0, 
so dass in Folge dieser Gleichungen eine oder mehr als eine der Functionen 
fi» 3)... f» einen constanten Werth für alle diejenigen Werthsysteme der 
X,, €X9,.. x, erhált, welche den übrigen Functionen /; constante Werthe ertheilen. 
Wir erhalten somit: Die ausreichende und nothwendige Bedingung 
dafür, dass z Functionen Tr Ser Sa Sa von 4 Variabein 34, 45, 
mi x, nicht unabhängig von einander sind, ist das identische 
Verschwinden ihrer Functionaldeterminante*) 
EA: a A Fon 
7 == | a Sas Jos + - ‚San 
4 Son Pas + ul 
6. Aus dem bisher Mitgetheilten ergiebt sich leicht, wie man das totale 
Differential einer unentwickelten Function mehrerer Variabeln zu 
bilden hat. Ist nämlich die Abhängigkeit der Grösse y von den unabhängigen 
NVariabeln »,, . ... x, durch eine Gleichung gegeben 
TX Hoy Wyn sie ily) we 0, 
so folgt, wenn man der Reihe nach nur eine der Unabhingigen verändert, die 
andern aber unverändert lässt 
OF oy OF OF Py oF CH 92» ol 
^uem t En ES By Ox. Pa, 
Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit dxi, dx, dx... 03 
und addirt, so erhält man 
0 
y 
0, fcm i 
ON 
  
« 
o» A4 EE = 0, 
03 Ox) dx, 
= (). 
0s py a N AR oF OF 
GE d tx. dx, +, EA. d, En + 7 x. +. GE. dx, zu. 
Der Klammerinhalt ist das totale Differential der Function y; daher ist 
dasselbe aus der Gleichung bestimmt 
or oF oF oF 
Endy umd ah ae gp, de Lo dx, = 0. 
oy ox, OX, ox, 
*) Vergl. u. A. BALTZER, Theorie und Anwendung der Determinanten. 4. Auflage. 
     
       
     
   
    
  
   
  
  
  
  
  
    
  
    
     
    
  
   
  
    
  
     
     
    
       
       
   
  
   
   
    
     
      
   
7. 
A. 
elliptisc 
Zeichen 
sich zu 
also fo! 
B 
bindung 
f zunà 
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De 
In 
4, und 
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einer à 
C. 
so hat 
ir 
0x 
Gleichu 
wobei : 
8. 
so kani 
drücke! 
2. 
hieraus