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2 X 2
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dx, 20.
daher ist
4. Auflage.
§ 4. Differential einer Function mehrerer Variabeln. 405
7. Wir erläutern den Inhalt dieses Abschnitts an einigen Beispielen.
A. Ist z = ax? + By?, so ist die zu dieser Gleichung gehörige Fläche ein
elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid, je nachdem « und ß gleiche
Zeichen haben oder nicht. Die partialen Differentialquotienten von z ergeben
sich zu
03 03%
20%, dy == 2p y,
0x
also folgt das totale Differential
ds = Quxdx — 2Bydy.
B. Ist z — /(x, y), und kommen x und y in / nur in der linearen Ver:
bindung ax + By + y vor, so kann man, wenn man ax + By + y = 4 setzt,
f zunächst als Function von æ betrachten, und hat demnach
ef 67 du of df Tw
óx ou Ox! y = du oy’
Hieraus folgt weiter
af ou of ou
dz == 25a 49 "ee m dy, und mithin
df (Ou ou
ds = A dx #7 .
du \0x Öy
Der Klammerinhalt ist das totale Differential von z; daher folgt schliesslich
af
dy == u.
7 du ^"
In der That ist jede Veránderung von x und y nur eine Veránderung von
4, und man hàáàtte daher vorhersehen kónnen, dass die dadurch bedingte Ver-
inderung von z nach den Regeln für das Differential einer Function einer ein-
zigen Variabeln (æ) zu bilden ist. Ganz dasselbe gilt, wenn x und y in irgend
einer andern, aber nur in einer Verbindung @(x, y) in der Function / auftreten.
C. Ist z als Function von x und y durch die Gleichung definirt
(x? -- y? 4- 22)? — (a?x? + 5292 + 232) = 0
so hat man, wenn man die linke Seite mit / abkürzend bezeichnet
of d + DA D 2G? LB? s 0(a? x? -- 0?y? -- c?2?)
Ex 308 = + 32) ox Ox
= 2(x? + y? + 2%). 2x — 24%x — 2x(2(x? + y? + = a?|.
In gleicher Weise ergeben sich
i y[(x2 --- 9? -- 22) — ’ 22[2(x2 + y? + 2%) — c?].
Daher hat man schliesslich zwischen den Differentialen dx, dy, dz die
Gleichung
x(272 — a?) dx + y (27? — b2)dy +3272 — 2) dz = 0,
wobei zur Abkürzung x2 + y? + z? — 7? gesetzt worden ist.
8. Ist f eine Funktion von x, y, z, und ersetzt man diese Variabeln durch
u= 4% + by + cz,
1. vy = dx + Uy-+ 3,
w = a'x + d'y + c'z,
so kann man das totale Differential von / durch z, v, w und du, dv, dw aus-
drücken. Aus 1. folgt
du — adx + b dy + ¢ dz,
2. dv = ddx + à dy -- c dz,
dw = a'dx + b'Ay + c'dz;
hieraus ergeben sich Auflósungen von der Form