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8 4. Differential einer Function mehrerer Variabeln. 407 
[A fs Ts | 
| Q1 Vi Pa | 
Q1 Ya a 
[7415417701395 dia ler 01551 + 43539 d-d53X3, 0413X4 0239 T 338 | 
e |5,12,- 0,5201, P199, 7 P332 + by xy, 813%, 70239 + 035%; - 
|e4424 7 £192 418 Xp) £121 77 42292 77 63a 613% VT E33 "d-€3393 
Sie ist eine Function dritten Grades in Bezug auf die veránderlichen x,, x, x. 
Wenn die drei Functionen /, e, ¢ nicht von einander abhängen, So Ver- 
schwindet / nicht identisch, sondern nur für bestimmte Werthe von xi, X5, Xs, 
also für bestimmte Punkte der Ebene; der Ort dieser Punkte ist die durch die 
Gleichung J = 0 definirtte Curve dritter Ordnung. Für jeden Punkt dieser 
Curve gehen die drei Polaren in Bezug auf die Kegelschnitte / = 0, e — 0, 9 — 0 
durch einen Punkt, denn die Gleichungen dieser Polaren für den Punkt x4, X», %3 
P 
I 
sind 
fu Sok +38 #0, P151 + pa Es + Pa Es m 0, 4, 8, + dps + $38, =0; 
das Verschwinden von / ist die Bedingung dafür, dass diese Geraden ein Büschel 
bilden; und umgekehrt, wenn die Polaren eines Punktes der Ebene in Bezug auf 
f=0 ge=0#=0 ein Büschel bilden, so verschwindet / für die Coordinaten 
dieses Punktes. 
Wenn die Functionaldeterminante / identisch verschwindet, und nicht zwei 
von den drei Kegelschnitten identisch sind, so bilden die Polaren der drei Kegel- 
schnitte für jeden Punkt der Ebene ein Büschel. Sind nun x,, r9, X4 reale oder 
complexe Werthe, welche den beiden Gleichungen /—0, ¢ = 0 geniigen, 
(die Coordinaten eines realen oder imaginären Schnittpunkts dieser beiden 
Kegelschnitte), und setzt man diese Werthe in fy, far for Pas Par Par Var Var Vs 
ein, so ist (Anal. Geom. d. Eb. 8 13, No. 2, 5) 
Sit + Sata + Salz = $ JG ia 13), 
$17, + Paty + Qaia = 4190 p 1» 1) — O- 
Folglich geht auch die Polare von Y,, ?s, F3 in Bezug auf ¢ = 
Ip Fg Ya, SO ist also auch 
Qf, + aka + Jar. — 0. 
0 durch 
Da nun 
Var. + Var + Voro = $ 9o Fo Fa)» 
so folgt, dass r,, f, 2; der Gleichung — 0 genügen. Der Kegelschnitt 
Q — 0 geht daher durch die vier realen oder imaginüren Schnittpunk*e der 
Kegelschnitte /— 0 und  — 0; folglich (Anal. Geomet. d. Eb. 8 14) bilden 
die drei Kegelschnitte ein Büschel, d. h. es giebt zwei von den Coordinaten 
unabhángige Zahlen A und p, durch welche die Identität hergestellt wird 
7 EE Af + pe, 
in Uebereinstimmung mit dem allgemeinen Satze in No. 5. 
10. Wie bei homogenen quadratischen Functionen dreier Variabeln, so sind 
auch bei vier Variabeln die in der analytischen Geometrie des Raumes mehrfach 
verwendeten abgeleiteten Functionen die halben partialen Differentialquotienten 
der Function nach den Coordinaten. Ist 
f= a, x2 + 2a,3%,%y 0 20.340403 7 20,4049, + QygX$ - 2053 X335 
+ 2494 X2X4 + AzzXg + 2031930 + 24490 , 
so sind die abgeleiteten Functionen 
A C