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§ 5. Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 
Ou Ou Ou ou à) 
z— X, P HSM HA ST: == NU”). 
Ou 1 0x. 2 0x. * 0x; 
Die partialen Differentialquotienten von 7 sind vom Grade z — |, folglich 
sind für eine homogene Function zten Grades die partialen Differentialquotienten 
homogene Functionen vom (z — 1)ten Grade. 
$ 5. 'Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 
1. Ist P ein Punkt einer Curve, welche die Gleichung hat 
Jy = 
und Z die Tangente 
vic) 
der Curve im Punkte 
P, so ergiebt sich der Winkel, den die 
Tangente und die X-Achse einschliessen, 
aus der in $ 1, No. 5 gefundenen Gleichung 
1. igs == VW, 
wenn wir j' abkürzungsweise für den Diffe- 
rentialquotienten y : Zx setzen. Aus 1. folgt 
weiter 
1 
2. COST == 7 v 
yi» 
y! 
yl» 
| SAC = 
Unter der Länge des Curvenbogens 6, 
der sich von einem gegebenen Anfangspunkte 
A bis zu dem veränderlichen Punkte P erstreckt, versteht man den Grenzwerth, 
  
  
gegen welchen der Perimeter eines dem Curvenbogen AP eingeschriebenen 
Polygons convergirt, wenn die Seiten des Polygons verschwindend klein werden 
und ihre Anzahl daher ins Unendliche wächst. Bezeichnet man die Bogenlänge 
Coordinaten x + Ax, y + Ay hat 
. YAx? + Ay? 
rw ET 
durch s, so ist, wenn P, die 
ds 
dx 
Hieraus folgt 
9 
Ds 
= lim — 
2 
- = lim y: + (32) ; 
MAY s 
dx rx £4 = Vi I 
Statt dieser Formel schreibt man auch 
ds = Vdx? + dy 
   
> 
  
Aus 2. und 3. gewinnt man die einfacheren Formeln 
d X 
cost = — 
gs? 
dy 
SL mE = : 
dx Jr as 
dx d y 
So lange Zy:4x positiv ist, wáüchst y mit x zugleich; so lange dy: dx 
negativ 1st, nimmt y 
ab, wenn x wächst. 
In denjenigen Punkten, für welche 
dy:dx den Werth Null hat (in denen also die Tangente parallel der Abscissen- 
achse ist) und dabei vom Positiven ins Negative übergeht, geht daber y vom 
Wachsthum zur Abnahme über und erreicht somit ein Maximum, d. i. einen 
Werth, der grósser als die Nachbarwerthe ist; in den Punkten, für welche Z y : dx 
verschwindet, und dabei vom Negativen zum Positiven übergeht, hat y ein Mini- 
mum, d. i. einen Werth, der kleiner ist, als die Nachbarwerthe. 
und Minima einer Function einer Variabeln gehóren also zu den Werthen der 
Variabeln, für welche y' verschwindet **, 
*) Vergl. BALTZER, 
  
Determinanten, § 13. 
Weiteres hierüber folgt in § 13. 
Die Maxima