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leichung 
d x, y die 
( durch P 
h .P seht, 
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langente 
ind, be- 
kurz als 
id PY, 
und 4. 
= 0 zu 
| PP'N, 
S 5. Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 411 
3. Tangente = : pi +», 
4. Normale — y yloy?. 
4. Wenn die Curve sich ins Unendliche erstreckt, so kann man nach den 
Tangenten fragen, welche die Curve in einem unendlich fernen Punkte berühren. 
Eine solche Tangente nennt man Asymptote der Curve. Lässt man in der 
Tangentengleichung 1. 
qd ue yn 
die Abscisse x des Berührungspunkts ins Unendliche wachsen, so nähert sich 
y' einem im Allgemeinen (eindeutig oder mehrdeutig) bestimmten endlichen oder 
unendlich grossen Werthe; durch denselben ist der Winkel © und mithin die 
Richtung der Asymptote (bez. der Asymptoten) gegeben. Der Ausdruck y — y'x 
ist die Strecke, welche die Tangente von der Ordinatenachse abschneidet. 
Náhert sich diese Grósse bei unendlich wachsendem x einem endlichen realen 
Grenzwerthe, so ist hierdurch eine im Endlichen liegende Asymptote bestimmt; 
wird aber y — y'x bei unendlich wachsendem x auch unendlich gross, so hat 
man eine unendlich ferne Asymptote, doch von bestimmter Richtung. 
Náühert sich für ein unendlich wachsendes x die Ordinate y einem endlichen 
Grenzwerthe à, so ist die Gerade y — £ eine Asymptote der Curve; nàáhert sich 
für ein unendlich wachsendes y die Abscisse x einem endlichen Grenzwerthe a, 
so ist die Gerade x = a eine Asymptote. 
5. Wir wenden diese Entwicklungen zunächst auf die Kegelschnitte an. 
Nimmt man die Hauptachse zur Abscissenachse und einen Scheitel zum Null- 
punkte, so ist, wie man sich leicht überzeugt, die Gleichung des Kegelschnitts 
j. q? ms 95x + gud 
Hierin ist ? die Ordinate im Brennpunkte, und 4 ist s? — 1, wenn e die 
numerische Excentricität bezeichnet; für die Parabel ist g = 0. Durch Differen- 
tiation der Gleichung 1. erhält man sogleich die Subnormale 
J =p = gx, 
und hieraus weiter 
E p+ gx 
quest ren 
Die Gleichungen der Tangente und Normale sind daher 
Pe (pf go) EEE, 
NV == pl — n0». 
Die Tangentengleichung vereinfacht sich, wenn man berücksichtigt, dass 
zufolge der Gleichung des Kegelschnitts 
— (5 + qx)x + y? = px; 
man on e = } ry 
T e (P -- qx) E — yu + px — 0. iet 
Ist 7, die Verticalspur der p 
Tansente, so ist O7,z5x:y. A. 
Macht man OC = 5, so ist daher DT C V NS 
O7, :0C— OP: PP, mithin ANC CIN 
sind die Dreiecke 7 "OCcund OZ P —.—- sd NS — X 
ähnlich, und folglich CZ, normal ^T 0 cr aM # 
  
zu OP. Hieraus ergiebt sich eine 
sehr einfache Tangentenconstruc- (e) 
ion. Man mache OC =p und ziehe C7 normal zu OP, dann ist 7, 2 die 
l'angente in P