eiben
u OP und
bnormale
n, driicken
erhält man
in y' und
symptoten,
. complex;
|. das Cen-
arallel der
man die
>ben wird,
erade zur
wird ein
4,04: 1
Seite der
chse rollt,
| die Cy-
de ganz
der posi-
| Seite der
chse ge-
nist. Die
sten Ordi-
n haben
Länge 2a
gehören
n Punkten
§ 5. Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 413
der X-Achse, welche die Strecken OO,, O,0,, O,0, .. . halbiren; nehmen
wir O zum Nullpunkte, so gehóren sie zu den Abscissen ... — 36x, — ar,
+ aw, -- 32r.
oder allgemein zu (24 -- 1) 2x, wührend für die Abscissen
24ax die Ordinate verschwindet (wobei Æ eine positive oder negative ganze Zahl
bezeichnet).
Ist BZ die Lage des Centrums des rollenden ‚Kreises in dem Augenblicke,
in welchem der die Cycloide beschreibende Punkt P die in der Figur bezeichnete
Stelle erreicht hat, so folgt aus der Definition, dass der Kreisbogen 7" gleich
der Strecke OB! ist.
Bezeichnet man mit 7 den Arcus des Winkels PBB' (des
Walzungswinkels) so ist PB’ = OB"— at Ferner ist x = OF = OB!
E PHn!, y= P'P = B'B
B Prost, und daher
X = at — asint = alt — sin ft),
r y=a —acost=a(l — cost).
Hieraus ergeben sich die Differentiale
da — all — cost) dt = yd,
> dy = asintdi — (at — x)dt.
Aus 2. folgt der Differentialquotient
; sn t at — x
d mm qm i rer
1 — cost y
Dies ergiebt Swinormale =3y = asınt = at— x = PB.
Folglich ist 25' die Normale, und daher P2 die 'Fangente der Cycloide
im Punkte Z
7. DieEpicycloide.
festen Kreises; die zwischen zwei auf
einander folgenden dieser Punkte
liegenden Bogen des festen Kreises
sind dem Umfange des rollenden
Kreises gleich. Wir nehmen das
Centrum des festen Kreises zum
Nullpunkte, und legen die Abscissen-
achse durch 4. Ist B die Lage des
Centrums des rollenden Kreises,
wenn P die in der Figur bezeichnete
Lage erreicht hat, sind à und a die
Radien des festen und des rollenden
Kreises, und ist arc COA = 6, so
ist der Kreisbogen CA gleich bg,
und ebenso gross ist nach der
Definition der Kreisbogen CZ; daher
ist arc PBC = by: a.
Projection von OBP auf OX, bez. OV.
(M. 478.)
den Winkel (LB, x) = PBC + COA — 180° bildet, so ist
arc P x) z ?-2-79——5
Daher findet man
a+b
a
b
x = OB:-cosq 4- B Pcos ( = Q-—
qe
4
_ ZEN T
E . © T.
Die Epicycloide wird von einem Punkte 2 eines Kreises
beschrieben, der auf der Peripherie eines festen Kreises rollt, ohne zu gleiten.
Der Punkt P kommt dabei unzáhlige Male auf Punkte 4, 4,, 4,, 4,... des
Die Abscisse und Ordinate von 2 ergeben sich durch
Da nun BP mit der Abscissenachse