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Conchoide 
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des Schnitt- 
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man hieraus 
Grenze Null 
Oll, einer 
erührungs- 
Arcus des 
et, so ist 
6 Tangente 
ie laufenden 
8 5. Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 427 
^ ^ 
4. N= (0 — 9) - 27 (0 — v) 
24. Die Frage nach der Anzahl der Punkte der Curve / (z, v) — 0, die 
auf einer gegebenen Geraden 3 der Ebene liegen, führt uns auf Be- 
trachtungen, die den in No. 8 durchgeführten dual entsprechen. 
Die auf $ liegenden Berührungspunkte liegen auf den Tangenten der ge- 
gebenen Curve, welche der Gleichung genügen 
0f dA of of 
EY He ime {ng of == = 0 
du ET op (7 +557 
Durch Zeichenwechsel folgt hieraus 
of of. of of 
E fel = (3. 
I ou” de (Zu t $p 
Dies ist eine Gleichung zten Grades. Die Tangenten der Curve f = 0, 
deren Berührungspunkte auf S lheegen, sind daher zugleich Tangenten der Curve 1. 
Die Glieder der Function / lassen sich so gruppiren, dass / als Summe von 
homogenen Functionen zten, (z — l)ten, (z — 2)ten u. s. w. Grades erscheint; 
bezeichnet man diese Gruppen der Reihe nach mit o,, o, 4, 9, 3,..., S0 hat man 
  
F == Pr == Dai A $,—23 + .. 
Nach dem EurEr'schen Satze ist 
of of 
—— mn L2 32 — 1 D, 4° = (n a 9 D, 9) + 
ou "n $c ug EM ) Pn—2 
Führt man dies in 1. ein und dividirt durch z, so erhält man 
2. == ©, ie ;]e— ns i (m — 2) o, 2 + - (s +3 or lea 
Der Klammerinhalt ist vom (z — l)ten Grade; folglich stimmen die 
Gleichungen / — 0 und /= 0 in Bezug auf die Glieder z-ten Grades überein. 
Die geometrische Bedeutung dieses Umstandes lásst sich leicht erkennen. 
Setzt man 2 — /z in die Gleichung f — 0, so enthalten die Functionen e,, ©, 1, 
$,—2 ... der Reihe nach die Faktoren z", w»—1, z»—23 .; nach Absonderung 
derselben bleiben Functionen desselben Grades in Bezug auf 7 übrig. Bezeichnet 
man dieselben durch («e,), (9$,—1), ., So erhált man 
J(u, £u) = ur(en) + w—(p,—1) 4- u"—?(9,. 2) + 
Die Division durch z^ ergiebt 
1 1 
4. (Pr) zt u (Pr—1) = ui (Pr -) +... 0. 
Für jede Curventangente, die durch den Nullpunkt geht, ist # = oo; führt 
man dies in 4. ein, so bleibt zur aw von ¢ die Gleichung 
5. (Ya) = | 
Die Grösse 7 ist die Tangente des rS n den eine Normale zu z, v mit 
der Abscissenachse einschliesst. Die Gleichung 5. bestimmt daher die 
Richtungen der durch den Nullpunkt gehenden realen oder complexen 
Tangenten der Curve//— 0. Hieraus erkennt man: Wenn zwei Functionen 
von Liniencoordinaten / und 7 in Bezug auf die Glieder höchster 
Potenz übereinstimmen, so fallen die durch den Nullpunkt gehenden 
Tangenten der Curven / — 0 und F — 0 zusammen. 
Die durch den Nullpunkt gehenden gemeinsamen Tangenten der Curven 
f und = 0 
enthalten im Allgemeinen keine auf der beliebig gegebenen Geraden € gelegenen 
Berührungspunkte; also sind von den z? gemeinsamen Tangenten von / = 0