ieraus folgt: 
r algebrai- 
im Allge- 
eschaffenheit 
)rdnungszahl 
Klassenzahl 
n der 6ten, 
ten ergiebt 
spunkts der 
zleichung 
meinen die 
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Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 429 
26. Wir schliessen hieran noch die Ableitung der Gleichung der 
Tangente und des Tangentialpunkts für homogene Punkt- und Linien- 
coordinaten. 
Die Coordinaten der Geraden, welche die Curve zter Ordnung 
l. S (#1, xg, 24) = 0 
im Punkte JP berührt, seien z,, #,, #,. Dann ist zunächst 
9, Uy xy d- W4X$ + Us X, = 0. 
Sind ferner &,, E9, E die laufenden Coordinaten der Tangentenpunkte, so 
ist auch 
3. Wai, c Wat. E wat. c 0, 
Die Tangente verbindet den Punkt 2 der Curve mit dem nüchst benach- 
barten Punkte derselben, dessen Coordinaten sind 
€i ck dx, 04. Ro dX3.. XQ + dx, 
daher gilt auch die Gleichung 
4, (x, + dx,) -- ua(xa + day) + uUglxg d- dx4) = 0. 
Wenn man von derselben 2. subtrahirt, so bleibt 
4. U, dx, + u,dX, + uadx, c 0. 
Aus den drei Gleichungen 3., 2. und 4. gewinnt man die gesuchte Tangenten- 
gleichung, indem man z,, v5, 44 eliminirt; man erhàlt sie zunächst in der Form 
1 59 Es | 
1 €. "X [Dee D. 
Ox. dx, dx, 
folgt durch Differentiation für die Differentiale der 
Yr 
  
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5. | 
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Aus der Curvengleichung 
Coordinaten die Gleichung 
6. fide, M fydx, fydxy, — 0, 
; ] of 
wobei y age f 
Da ferner nach dem Eurzn'schen Satze 
Si% + fa%a fX, — f, 
und der Punkt 2 auf der Curve liegt, so ist 
7. Si% + [oxy + [3x5 = 0. 
Aus den Gleichungen 6. und 7. kann man /, und /, durch f, ausdrücken; 
man erhält die Proportion 
à Ff pell 2 X. X3 Mr [o x, 
: 1:72 73 | d, dés |'| dx, : dx, |'| 4%, dx, 
Entwickelt man die Determinante 5. nach den Gliedern der ersten Zeile, so 
erhält man 
I | 1 
dx, dx, des del 9tim dl] ^ 
Ersetzt man nun die Coefficienten in 9. durch die proportionalen Werthe 
F1 fa F3 SO erhält man die Gleichung der Tangente in der endgültigen Form 
T=/f 5 +/y-& +/i&=0. 
Die dual entsprechenden Betrachtungen führen zur Gleichung des Punktes 2, 
in welchem die Curve zter Klasse 
FU, M, ua) = 0 
von der Tangente z,, z5, 44 berührt wird. Sind nämlich x,, x4, x4 die Coor- 
dinaten von P, so ist die Gleichung von P 
1 ^ — 
10. P omm XQ -- X6. + 2.0; = 0. 
Da P der gemeinsame Punkt der Geraden z,, 5, #, und 4, 4- dui, 
uy + du, Us + dus ist, so gelten die Gleichungen 
  
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