430 Differentialrechnung. 
11. X, 44 + Mag + Rata = 0, 
xy (uy + dug) + x5 (49 + dug) + xX3 (45 + du,) = 0, 
aus denen durch Subtraction hervorgeht 
12. x, du) + xadtég + x, du, = 0. 
Eliminirt man x,, X,, x, aus 10., 11, 12, so erhält man die gesuchte 
Gleichung zunächst in der Form 
| 
Hy “UV U | 
| A U, Us | = 0, 
| du, dus du; | 
oder nach den Elementen der ersten Zeile entwickelt 
| | | | | 
| 2 Ws | 4. u | u 4; 
| ve y jan, | 5 qu + 15 2 Lu, 
| du, dus} | dus: du; | - * du, dual -— 
Nun gelten die beiden Gleichungen 
Ey uy + Fou, A Fru; =0, Ps LS 
F, du, + Fa du, + Ha dt, = 0, ^^ n Ou 
deren erste mit # = 0 identisch ist, während die andere durch Differentiation 
dieser Gleichung entsteht. Hieraus erhält man 
Mo M3 | : | US 4, |. 
du, dul (du. du, i’ 
Aus 13. und 14. folgt die gesuchte Gleichung des Tangentialpunktes 
P= Fy, uy + Fa "Ua + Fa Mg = O. 
13. 
1 CHF 
  
Ur Ua 
| 
du, dus | 
| 
14. Bln By 
8 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Fláchen; Tangente und 
Normalebene von Raumcurven; Gerade auf abwickelbaren Fláchen. 
1. Legt man eine Gerade durch einen Punkt 2 der Fliche f(x, y, 3) = 0, 
sowie durch den Punkt P, der Fláche, dessen Coordinaten x + Ax, y + Ay, 
z + Az sind, so gilt für die Richtungscosinus dieser Geraden (d.i. für die Cosi 
nus ihrer Winkel mit den Coordinatenachsen) die Proportion 
1. cos® : cost : cosy = Ax : Ay: Az. 
Convergiren Ax und Ay, und damit auch im Allgemeinen Az gegen den 
Grenzwerth Null, so wird die Gerade zu einer Tangente der Fläche. Für 
die Richtungscosinus einer Tangente ist also 
2. cose : cosd : cosy — dx : dy: da. 
Durch Differentiation der Flächengleichung folgt 
of 0j of 
3. — dx op e Iv + of da — 0. 
ox oy 0% 
Führt man hier aus 2. für die Differentiale dx, dy, dz die proportionalen 
Werthe cose, cos, cosy ein, so erhilt man 
0) 0 0 ; 
4. of ns zi of ost = of y = 0. 
0x cy 02 c 
Die Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen, und deren Richtungs- 
cosinus durch eine Gleichung verbunden sind (ausser der selbstverstindlichen 
Gleichung cos? dq + cos? + cos?y = 1), sind die Mantellinien einer Kegelfläche, 
deren Spitze der gegebene Punkt ist. Die Gleichung dieser Kegelfläche wird 
erhalten, wenn man in 4. die Coordinaten & mn, { eines Punkts einer dieser Ge- 
raden (d. i. also eines Punkts der von den Geraden beschriebenen Kegelfliche) 
durch die Formeln einfiihrt 
  
       
   
    
    
  
    
     
  
    
    
    
    
      
   
   
    
  
   
     
  
  
   
   
   
  
   
   
  
   
    
   
5. 
wobei 
Führ 
die Gleic 
Dies: 
die ein 
einer E 
Tangen 
Die 
Punkte 
6. 
Die 
der Fläch 
7. 
wobei 
Die | 
Ist d 
so kann | 
in die Fc 
Dahe 
9. 
die Gleic 
10. 
ihre Winl 
il. 
Die