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gleichung 3. | 
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linie zweier 
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Beriihrungs- 
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lurch z, so 
  
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dlich fernen 
§ 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 435 
Punkte, welche die Gleichungen / — 0 und F=0 befriedigen, erfüllen auch 
die Gleichung 9,—, — 0. Die Punkte, in welchen eine Flüche zter 
Ordnung von einem umschriebenen Kegel berührt wird, liegen daher 
auf einer bestimmten Flüche (y — I)ter Ordnung Q0. 
Um die Tangentenebenen einer Flüche / zu erhalten, die durch eine 
gegebene Gerade gehen, hat man von zwei Punkten dieser Geraden aus 
Tangentenkegel A, und X, der Fläche zu umschreiben; die Tangentenebenen 
der Punkte, in welchen die Berührungscurven des Kegels AK, bez X, und der 
Fläche f sich schneiden, sind die verlangten. Da nun diese Berührungscurven 
auf der Fläche f durch zwei Flächen e und ® vom (2 — 1)ten Grade ausge- 
schnitten werden, so sind die Schnittpunkte dieser Curven die gemeinsamen 
Punkte der drei Flichen f, ¢ und ®; die Anzahl dieser Schnittpunkte ist gleich 
dem Produkte der Gradzahlen der drei Functionen f, 9, O, also gleich 
n(n — 1)2. 
Die Anzahl der durch eine Gerade gehenden Tangentenebenen ist gleich 
der Klassenzahl der Fláche, d. i. gleich dem Grade ihrer Gleichung in Ebenen- 
coordinaten. Wir finden daher: Eine Flüche zter Ordnung ist im Allge- 
meinen von der Klasse z(y — 1)?. Nur für z — 2 ist im Allgemeinen die 
Klassenzahl gleich der Ordnungszahl. Flächen 3ter, 4ter, ôter . 
sind im Allgemeinen von der 12ten, 36ten, 80ten Klasse. 
Von der Kegelgleichung 2. ausgehend, erhält man 
Ordnung 
  
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02 ok dz on dz ^ (s —c? Dt (8 — 0)? ^ 29 
Die Gleichung der Tangentialebene des Kegels im Punkte P ergiebt sich 
daher, wenn mit y, y, 4 die laufenden Coordinaten bezeichnet werden, 
0f of x—a of y—b of 
Re LE LH 2 L der SH ON 
3577 8) + pr B= (gs Ah 2) 2) = 0%). 
Sind o, ¢, y die Winkel der Normalen mit den Achsen, so ist demnach 
ef 8j x—a 0; — # 8f 
cos® : cos : cosy = m : 2 D— ( . = 7 gy . =) 
Für die Richtungswinkel A, p, v der Mantellinie PS gilt 
Cosh: cos : cosy = (x — @) : (y — 5) : (x — ©) 
Aus beiden Proportionen folgt 
. 
cosp cosh + cos cosy. + cosy cosy = 0. 
Dies lehrt: Jede Tangentenebene eines Kegels berührt den Kegel 
entlang einer Mantellinie. 
Da hiernach die Tangentenebene jedes Kegelpunktes P durch die Spitze 
geht, so folgt, dass man die Tangentenebene in P auch als die Grenzlage der 
Ebenen betrachten kann, die durch die Mantellinie SP und durch eine zweite 
Mantellinie SP, gehen, wenn der Winkel SZ SP, gegen den Grenzwerth Null 
convergirt. Hieraus folgt weiter, dass die Tangentenebene des Punktes 2 
zugleich Tangentenebene für alle Punkte der Mantellinie S ist. 
*) Hier gilt dieselbe Bemerkung wie zu Gleichung 3. der vorigen Nummer. 
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