Differentialrechnung. 
436 
  
4. Die Cylinderflächen und die Kegelflächen gehören unter den allgemeineren 
Begriff der Regelflächen. Unter einer Regelfläche versteht man eine Fläche, 
die durch Bewegung einer Geraden erzeugt wird. Die Bewegung der Geraden 
kann in verschiedener Weise definirt werden: man kann verlangen, dass die 
Gerade immer drei gegebene (ebene oder unebene) Curven triftt; oder dass sie 
zwei gegebene Curven trifft und eine gegebene Fläche berührt; oder dass sie 
eine gegebene Curve trifft und zwei gegebene Flächen berührt u. s. w. 
Sind 2 =mx +n und y = Mx + N die Gleichungen einer erzeugenden 
Geraden der Fläche, so müssen m, z, M, N veränderlich sein; und zwar können 
es nur Functionen einer Variabeln sein; denn angenommen, sie enthielten zwei 
Variable, so könnte man die Variabeln so bestimmen, dass die Gleichungen der 
Geraden durch die Coordinaten xp, Vo» zy irgend eines Raumpunktes erfüllt 
würden, es würde also dann jeder Raumpunkt der Fläche angehören, im Wider- 
spruche mit dem Begriffe einer Fläche. Sei © eine Veränderliche, so haben die 
Gleichungen einer erzeugenden Geraden einer Regelfläche daher die Form 
1. 2. == glo): x + Alo), = GO x HF Z() 
worin g, 4, G, H Functionszeichen sind. Durch diese Gleichungen sind die 
Coordinaten jedes Flichenpunktes von zwei unabhängigen Variabeln x und s 
abhängig gemacht. Die Flichengleichung wird aus 1. durch Elimination von c 
  
gewonnen. 
Um die Gleichung der Tangentenebene im Punkte P zu erhalten, haben | 
wir die partialen Differentialquotienten 6z : 0x und 0z:6y zu bilden. Im ersten | 
Falle haben wir x und c so zu ändern, dass nur z sich ändert, y aber ungeändert 
bleibt; im zweiten Falle ändern sich y und c, während x ungeändert bleibt. 
Unter der ersten Voraussetzung gehen aus 1. die beiden Gleichungen hervor 
9. dz = gdx + (g'x + h')ds, 
3. 0 = Gdx + (G'x + HAH") ds, 
wobei s", 7, G', Z7 die Grossen dg ide... ... bezeichnen. Aus 3. folgt 
G 
res ris 
Setzt man dies in 2. ein, so erhält man 
0s — (gG'— Go a — GW) 
4. ox Gx + H 
Unter der andern Voraussetzung folgt aus 1. 
dz = (gx--A)do, dy = (G'x + H') do 
und hieraus durch Division 
  
; orig t 
E oy Gx +H 
Führt man diese Werthe 4. und 5. in die Gleichung der Tangentenebene 
ein, so erhält man nach Beseitigung der Nenner für die Tangentenebene | 
einer Regelfläche 
Tex (ge G' —Gg)x-rg A —Gh|E—x)+(g'a+h) (a —y) — (G'x4- H7) (£—2) —0. 
Für die Richtungscosinus der Normalen folgt hieraus 
cosg : cosy: cosy = [(gG' — Gg) x + gH — GA |: (gx 4: — (G'x -- H). 
Für die Winkel A, p, » der erzeugenden Geraden 1. und der Achsen ist 
COSK 1 COSW 1: COSY == 15 C: y. 
Aus diesen Proportionen folgt die Gleichung | 
cos® cos) + cosh cos, + cosy cosy = 0. 
     
Die 
die dur 
Blei 
geändert 
Geraden 
rührun, 
dreht s 
Zwi 
und den 
Zusamm 
dass die 
genomm 
X Y-Ebe. 
ist y — 
müssen 
Tangent 
Der 
folglich 
6. 
Ist « 
die von 
abschnei 
einheit a 
daher er 
und x d 
Dies 
dem Büs 
der Reih 
reihe a 
Büsche 
spricht j: 
Geometr 
bewiesen 
5. 1 
coordin 
78 An, 
linie der 
geht die 
diese Eb 
Geht 
sich T' e