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8 6. 
Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 437 
Dieselbe lehrt: Jede Tangentenebene einer Regelfläche enthält 
die durch den Berührungspunkt gehende erzeugende Gerade. 
Bleibt in der Gleichung 7'— 0 die Variable s ungeündert, wührend x 
geündert wird, so verschiebt sich der Berührungspunkt entlang einer erzeugenden 
Geraden; dabei ändert sich die Function 7' dies ergiebt: Wenn der Be- 
rührungspunkt auf einer erzeugenden Geraden fortschreitet, so 
dreht sich seine Tangentenebene um diese Gerade. 
Zwischen der Reihe der auf einer erzeugenden Geraden liegenden Punkte 
und dem zugehórigen Büschel von Tangentenebenen besteht ein sehr einfacher 
Zusammenhang. Um diesen zu erkennen, wühlen wir das Coordinatensystem so, 
dass die erzeugende Gerade, die wir in Betracht ziehen wollen, als X-Achse 
genommen wird, den Nullpunkt wählen wir beliebig auf dieser Geraden; zur 
X Y-Ebene nehmen wir die Tangentenebene des Nullpunktes. Für die X-Achse 
ist y = z = 0; für den dieser Geraden der Fläche zugehörigen Werth von c 
müssen daher die Functionen g, Z4, G, H verschwinden. Die Gleichung der 
Tangentenebene in einem Punkte der X-Achse ergiebt sich hiernach zu 
T= (g'x-+ A)» —(G'x + H)E = 0. 
Der Punkt x = 0 hat nach der Voraussetzung die Tangentenebene € = 0, 
folglich ist /' = 0, und die Gleichung von 7' wird noch einfacher 
6. Ten gx: — (G'x -r HC zm 0. 
Ist e der Winkel dieser Ebene mit der Y-Achse und bezeichnet man mit 7 
die von der XY-Ebene aus gemessene Strecke, welche 7' von einer Geraden 
abschneidet, die zur Z-Achse parallel ist und von der X-Achse um die Längen- 
einheit absteht, so ist fange = £ Nun folgt aus der Gleichung 6. 
C gx 
qm II 
daher ergiebt sich, wenn man / für fango einführt und den Nenner beseitigt, für / 
und x die Gleichung 
G'xt— g'x + H't=0. 
Diese Gleichung lehrt (Analyt. Geom. der Ebene 8 6, No. 15), dass die von 
dem Büschel der Tangentenebenen auf der Geraden « erzeugte Punktreihe mit 
der Reihe der Berührungspunkte projectiv ist; hieraus ergiebt sich: Die Punkt- 
reihe auf einer erzeugenden Geraden einer Regelfläche ist mit dem 
Büschel der zugehórigen Tangentenebenen projectiv, und zwar ent- 
spricht jedem Punkte die Tangentenebene in diesem Punkte. In der analytischen 
Geometrie des Raumes ist dieser Satz fiir die Regelflichen zweiten Grades 
bewiesen worden. 
9. Es sei /(æ, v, w) — 0 die Gleichung einer Fláche in Ebenen- 
coordinaten und 7' und 7, mit den Coordinaten z, v, w und % + Au, 
7 -- Av, w + Aw seien zwei Tangentenebenen der Fliche. Durch die Schnitt- 
linie der Ebenen 
Z = Ux+vy+w—1= 0, 
T = (4 + Au) x + (0 + A7) y + (w + Aw)z—1 = 0 
geht die Ebene 
T 27,—7 zs Aw:x--Av-:y-- Aw-z-—0, 
diese Ebene enthält den Nullpunkt, und ihre Stellungswinkel folgen aus 
cosa “eos COST = Du: AD: LAW. 
Geht man zur Grenze für verschwindende Az, Av und Aw über, so nähert 
sich T' einer bestimmten Grenzlage T; die Gleichung dieser Grenzlage ist 
Er Se Mp