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wird, deren 
e umhüllen, 
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Sind a, 8, 1 
r Definition 
bene 4 mit 
inaten U, V 
'ormeln 
  
8 6. 
Tangentenebene und Tangentialpunkt von Fláchen etc. 
9, HZ plot 17 
2) — y TU — Y 
Führt man diese Werthe in 1. ein, so erhált man die Gleichung der 
Grenzfläche 
3 FC — za po — A) n 
2U — Y 20 — 1 
Wie man sieht, geht diese Gleichung aus der Kegelgieichung No. 3, 2 hervor, 
wenn man überall die Punktcoordinaten durch Ebenencoordinaten ersetzt. 
Um die Gleichung des Punktes $3 zu erhalten, in welchem die Grenzfláche 
von der Ebene 7’ derselben berührt wird, bilden wir 
  
  
  
unm FV) dU 1 of 
E OL E S7 des wy PS: 
Of (u, v, W) TU V) dV 1 0f 
E UU TT w—3 0E" 
of (u, v, w) 6, dU Pf dl. (q(v-—- OF 10-8 of 
NY TITTIES T= TT w= OR 
Die Gleichung des Tangentialpunktes einer Grenzfláche ist daher, 
wenn die laufenden Coordinaten mit u, v, w bezeichnet werden 
f Of wg 0f y =f 
4, P= (0 — un) - spl») -— — 0 — 27)0 w — w) = 0. 
ou ht p ) a — y men UF ) 
Ersetzt man in dieser P cen », v, v durch a, f, 4, so wird sie identisch; 
daher folgt: Die Punkte der Grenzflüche liegen auf der Ebene 4. 
Diese Ebene wird als die Hauptebene der Grenzfláche bezeichnet. 
Setzt man in 4. w — 0, so erhält man die Gleichung der Horizontal- 
7 
projection von P 
Lr à on (ES, En > 
PD U — 4) + 5p 6-9 + ni a TIR w= 0. 
Hieraus erlangt man durch einfache Reduction 
; 0 au — YU 0 Bw — 19 
P Emm ep m n — LY) + ov D — zn =) RÀ 0, 
und dies kann man nach den Formeln. ; ersetzen durch 
A 
0 
aU (u — 
Der Berührungspunkt P der Ebene 7 hat also als Grundriss einen Punkt 
der Curve /(U, P) — 0; folglich ist P ein Punkt der Curve C. Die Curve C 
enthält daher die Punkte der Grenzfliche. 
Hieraus erkennt man weiter, dass jeder Punkt von C der Berührungspunkt 
eines Büschels von Ebenen der Grenzfliche ist — sowie beim Kegel die 
Tangentenebene in einem Punkte des Kegels zugleich Tangentenebene in allen 
Punkten einer geradlinigen Punktreihe, nämlich der durch den Punkt gehenden 
Mantellinie ist. 
7. Unter einer Regelfläche unter den Ebenengebilden versteht man 
eine Fläche, die von den Ebenen eines Ebenenbüschels umhüllt wird, dessen 
Träger sich im Raume bewegt. In No. 4 haben wir die Regelflächen unter den 
Punktgebilden definirt und nachgewiesen, dass die Tangentenebenen Ebenen- 
büschel bilden, deren Träger die erzeugenden Geraden der Regelfläche sind; 
dies zeigt, dass die Regelflächen unter den Punktgebilden auch Regelflächen 
unter den Ebenengebilden sind. Im Verlaufe der jetzt anzustellenden Betrachtung 
wird sich zeigen, dass bei einer Regelfläche unter den Ebenengebilden die 
9i or 0.