440 Differentialrechnung. 
Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels den Träger dieses Büschels erfüllen; 
damit wird dann erwiesen sein, dass die Definitionen der Regelfläche für Punkt- 
und für Ebenengebilde dieselben Objecte umfassen, so dass man von Regel. 
flächen schlechthin sprechen kann. 
Ein Ebenenbüschel ist durch die Gleichungen zweier Spurpunkte des Trägers 
bestimmt, die wir in der Form annehmen wollen 
1: v= Gu + H, w= gu + A. 
Soll das Ebenenbiischel beweglich sein, ohne doch jede mögliche Ebene 
des Raumes enthalten zu können, so müssen G, H, g, h Functionen einer 
Varibeln c sein. Zur Bestimmung des partialen Differentialquotienten dz : du 
haben wir die beiden Gleichungen (vergl. No. 4) 
0 = Gdu + (G'u + H')ds, dw = gdu + (gu + N') do, 
aus ihnen ergiebt sich 
2 br n UO Om ue ER n 
9 Ou — G'u + H', 
Der partiale Differentialquotient 6p : 0 idiot aus 
dv = G'u + H', dw -—gu--, 
zu 
x 0m Su A 
P 29° Cua Zi 
Daher erhält man für die Gleichung des Berührungspunktes der Ebene 7' 
L PzeG' —Gg)u se SH — GA] (u — v) + (g'u + 2) (0 — v) 
— (G'u + H') (w — w) = 0. 
Hier kann man noch v und @ nach den Formeln 1. durch z und c aus- 
drücken. Lässt man c ungeändert und ändert nur æ, so erhält man aus 4. die 
Berührungspunkte aller Ebenen des Büschels, dessen Träger dem angenommenen 
Werthe von s zugehórt; man sieht, dass dabei im Allgemeinen die Coefficienten 
der Gleichung wesentliche Aenderungen erleiden und schliesst daher: Die 
Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels wechseln im Allgemeinen von 
Ebene zu Ebene. 
Führt man denselben Werth c in 1. ein, so erkennt man leicht, dass i 
diesem Werthe zugehörige Gruppe von Ebenencoordinaten der Gleichung P — 
genügt; denn ist U, V, W eine solche Gruppe, so isc 
V-—GU--H, Wc-gU-A. 
Fiir die Ebene 7 ist ebenfalls 
v = Gu + H, w=gu + A, 
und daher 
Vr psa GU 4), Wo w = g(U— u). 
Setzt man dies in 4. für ¥ — » und Ww — w, so wird 4. identisch. 
Da hiernach jede dem Büschel s angehórige Ebene den Punkt P enthält, 
so folgt: Die Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels sind auf 
dem Tráger des Büschels enthalten. Hiermit ist die anfangs ausgesprochene 
Behauptung erwiesen. 
8. Eine Raumcurve ist durch zwei Flichen bestimmt, die sie. enthalten und 
als deren vollständiger oder theilweiser Durchschnitt sie erscheint. Die Gleichungen 
dieser Flächen seien 
1. [600 =0, JF» y © = 0. 
Verbindet man einen Punkt 2 der Curve mit einem andern Punkte ./, der- 
selben, dessen Coordinaten x + Ax, J-rAÀy, z-- Az sind, so bildet die 
  
  
   
Gerade . 
haben A 
Tangen 
Sind 
KO 
Durc 
3 dx 
Die 
4. à, 
0) 
Elin; 
Gleichun, 
der pu 
den Tar 
Elim 
der Hori: 
die Form 
so ist 
Dah« 
5. 
Die 
6. cos = 
Der. 
und ist 
dieser Gi 
hat also 
7. 
und kann 
8. 
Die 
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ergiebt si 
wenn ma 
Sind 
9. 
im Ansch