Differentialrechnung. 
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Die Coordinaten der Normalebene ergeben sich aus 9. zu 
il us y = E 
  
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Wenn man aus diesen Gleichungen und aus den Gleichungen 
Yy= 4), 2-009) 
die Coordinaten x, y, z eliminirt, so erhält man zwei Bedingungsgleichungen für 
4, 7, w; diese werden von den Normalebenen der Curve erfüllt, sie sind mithin 
die Gleichungen der von den Normalebenen der gegebenen Raum- 
curve umhüllten abwickelbaren Fläche. 
9. Eine abwickelbare Fläche ist eine Fliche, deren Berührungsebenen 
zwei Bedingungsgleichungen genügen. Sind 
1. J, 0, w) = 0, Flu, v, w) = 0 
zwei solche Gleichungen, so erscheint die abwickelbare Fläche umhüllt von den 
gemeinsamen Tangentenebenen der Fláchen f — 0 und # = 0. Eliminirt man 
aus l. einmal z» und dann v, so erhált man zwei Gleichungen, die eine zwischen 
4 und 2, die andere zwischen z und z»; wir wollen sie uns in der Form denken 
2. v = eu), w= bu). 
Es sind dies die Gleichungen der horizontalen und der verticalen Spur 
der abwickelbaren Fläche; durch diese ist die Fläche ebenfalls bestimmt. 
Die Coordinaten der Ebenen 7’ und 7, môgen den Gleichungen 1. gentigen, 
es mögen also 7 und 7, Tangentenebenen der abwickelbaren Fliche sein. Ist 
$ irgend eine die Gerade 7'7, enthaltende Ebene, so ergeben sich die Coordi- 
naten von Ÿ aus den Coordinaten von 7' und 7’ zu 
u= U FU, D — A+ py,, W= \W+pw,, À+p = 1. 
Hieraus gewinnt man 
U— %=\u+ pu, —u = p(u, — 4), 
»N—-v=p(, —7), w—w=p(w, —w). 
Hieraus folgt, dass die Coordinaten jeder die Gerade 77, enthaltenden 
Ebene den beiden Gleichungen genügen 
: u— u vp — 7 Ww — w 
x Wu p 0 7 WW, wW” 
und umgekehrt. Diese Gleichungen sind als die Gleichungen der Geraden 
in Plancoordinaten zu bezeichnen. 
Setzt man 4, — 4 -- Au,  v,— v -- Ay, w, = w+ Aw, so gehen 
sie über in 
  
4 U—-# b-v W-—w 
: As =. Av. Aw 
Nähert sich Av dem Grenzwerthe Null, so nähern sich im Allgemeinen auch 
Av und Aw demselben Grenzwerthe. Die Gerade 7'Z, nähert sich dabei im 
Allgemeinen einer bestimmten Grenzlage (9, entlang welcher die Ebene 7'die 
abwickelbare Fliche berührt. Die Gleichungen dieser Geraden ( sind 
daher 
  
  
     
      
    
     
     
  
  
  
  
  
  
    
   
  
   
    
    
   
    
    
    
    
     
   
       
    
   
      
      
    
    
  
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