hungen der 
k 
angente hat 
) 
ormalschnitt 
ometrischen 
t. Sind § 4 
ntalspur der 
ür = 0 
Z 
= — — x 
E ) 
(x? + y?) ; 
+ y? durch 
t die Spur 
hált man 
bogen P'A. 
puren der 
>nlinie auf 
‚ur Achse 
>volvente. 
ngente mit 
ich aus 3. zu 
die Achse 
ywickelbare 
bordinate 2 
gelegenen 
gen zweier 
  
S 6: 
Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen etc. 445 
"benachbarten Normalebenen der Schraubenlinie bilden. Die durch den Punkt 
x + dx, y -- dy, z -- da gehende Normalebene hat die Gleichung 
N, = (y + dy)E — (x + dx) n — &(t— 2 — dz) — 0. 
Durch die gesuchte Gerade /VJV, geht auch die Ebene 
M = N, — N = dy-E — dx +1 + kdz = 0. 
setzt man die obigen Werthe von j' und z' ein, so erhált man die Gleichung 
dieser Ebene 
M = xE + yn + £2 = 0. 
M ist daher normal zu OP', und schneidet von der Verlängerung von 0 .P' 
die constante Strecke OQ' — £? : yx? -- y? — 4? : a ab. 
Zieht man durch 2 die Gerade PQ parallel und gleich 2'Q', so enthält V 
die Gerade PQ; folglich enthült die Gerade /VJV, den Punkt Q. Bewegt sich 
P entlang der Schraubenlinie, so beschreibt Q eine Schraubenlinie von derselben 
Ganghóhe; bezeichnet ;, den Winkel der Tangente dieser Schraubenlinie mit 
OZ, so ist 
  
  
y = 2: ED Wi = es 
cosy, > A: A2 -L- EE V 
Hieraus folgt, dass cosy, = siny, dass also die Tangente der von Q be- 
schriebenen Schraubenlinie mit V/V, zusammenfillt. Wir haben somit den Satz: 
Die Cuspidalkante der von den Normalebenen einer Schraubenlinie 
umhüllten abwickelbaren Fläche ist eine coaxiale Schraubenlinie 
von derselben Ganghóhe. 
Wenn eine Gerade normal zu einer andern Geraden sich so bewegt, dass 
sie diese Gerade und eine Schraubenlinie schneidet, welche die letztere Gerade 
zur Achse hat, so nennt man die von der bewegten Geraden beschriebene 
Fläche eine axiale normale Schraubenregelfläche. In Bezug auf das 
soeben benutzte Coordinatensystem ist die Gleichung dieser Flüche 
7 zm fre fang. 
so dass die beiden Gleichungen der Schraubenlinie 1. und 9. dieselbe als Durch- 
schnitt dieser Schraubenflüche und eines Rotationscylinders erscheinen lassen. 
Aus 7. folet 
s os soo oo 
x TT Parag Gy FRB? 
mithin ist die Gleichung der Tangentenebene 
RY(E — x) — Rx(n — y) + (a? + y°)(€ — 2) = 0, oder 
8. 7 = kyt — kan + (a? + y?) (€ — 2) = 0. 
Diese Ebene enthält die Gerade, deren Gleichungen sind 
= 8, 6y6 — X e 0, 
d.i. die durch den Berührungspunkt 2 gehende erzeugende Gerade der Schrauben- 
flache. Der Abschnitt von Z' auf der X-Achse ergiebt sich aus 8. für n= = 0 zu 
  
x? + 12 
bs E 
ky 
Ist p der Abstand des Berührungspunktes von der Z-Achse, und e der 
Winkel (p, x), so ist x? 4- y? — (2, y=psine, z = ke, und es folgt daher 
$ 
yaQ 
"e 
Bewegt sich P entlang einer erzeugenden Geraden, so bleibt e ungeändert. 
Da man jede erzeugende Gerade zur X-Achse wáühlen kann, so ergiebt sich der 
   
  
Sa pak uie Modum