34 Analytische Geometrie. 
1. für parallele Lage — 4,2, — 45, —0, oder À, : B, = 45 : Do, 
2. für normale Lage: — 4,4, 4- B,B, —0, oder A, : B, = — B,: 4,4. 
Die Gleichung jeder zu Ax + By + C=0 parallelen, bez. normalen 
Geraden hat somit bei willkürlichen zz z und, C, die Form: 
Parallele: mAx + mBy + C, =0, oder 3. dx + By + c= ©, 
Normale: 2JBx— n4Ay-- C, -0, oder 4. Bx — Ay -- 1 — 0, 
wo nun ¢ und y willkürliche Constanten sind. 
Aus der Gleichung einer Geraden wird also die Gleichung einer Parallelen 
erhalten, indem man das von Coordinaten freie dritte Glied durch eine willkür- 
liche Zahl ersetzt; die Gleichung einer Normalen wird erhalten, indem man A 
durch B, B durch — 4, und C durch eine willkürliche Constante ersetzt. 
Sollen die Parallele und Normale durch einen gegebenen Punkt x,, y, gehen, 
so müssen 3. und 4. von den Coordinaten x,, y, erfüllt werden; man hat daher 
Ax, + By, +¢=0, bez. Ba, — Ay, +1=0, 
woraus folgt: 
t= —Ax, — By,, 1=—Bx,+4dy,. 
Setzt man diese Werthe in 3. und 4. ein, so folgen die Gleichungen 
der Parallelen: 5. A4(x—x,)-- B(y—y,)—0 
der Normalen: 6. B(x—x,)—Ay—3,)=0. 
10. Die Coordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden 7',, 7% sind 
die Werthe, welche den Gleichungen der beiden Geraden zugleich genügen. 
Multiplicirt man die beiden Gleichungen 
Ax 4 B, y m — C, 
A,% + Bay = — C, 
der Reihe nach erst mit B, und — B,; dann mit — 4, und 4,; und addit, 
so erhält man die Coordinaten des Schnittpunktes zu 
B.C, — B.C, 4,C, — 4,6; 
dian 02 Quae Wr NEA ES 
Diese Coordinaten werden unendlich gross, wenn 4,2, — 452, — O0, d. 1. 
wenn die Geraden parallel sind (No. 9). 
Wenn zugleich die Zühler verschwinden Z,C, — 896, = A,C, — A, C9 #0, 
so werden die Coordinaten des Schnittpunktes unbestimmt; das Verschwinden 
der Zähler und des gemeinsamen Nenners der Lôsungen x und y ist aber, wie 
man sofort sieht, gleichbedeutend mit der Proportion 4, : Bi :C md: 4 * Ce» 
ist diese erfüllt, so sind die Geraden 7, und 7 identisch. 
11. Drei Gerade Z,, 7,, 7, gehen durch einen Punkt, wenn es ein 
Werthepaar x, y giebt, durch welches den drei Gleichungen der Geraden: 
Ax - B, 4 C, —0 
1. A,x + Bay + C, =0 
Agx + By + C3 =0 
zugleich genügt wird. Sollen diese Gleichungen bestehen, so muss ihre Deter- 
minante verschwinden: 
A 8, G | 
9 gu 4, B? C$,,-0 
| 4, By Cy | 
Man kann dieser Bedingung aber noch eine andere bemerkenswerthe Form 
geben. Das Verschwinden der Determinante A4 zeigt, dass drei Zahlen z, 75, 73 
vorhanden sind, für welche die drei Gleichungen bestehen: 
       
  
   
   
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
    
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