, so erhält 
ücke aus, 
| mit den 
y 0x, y, 
er dst d2z 
stellung 
öhnlichen 
Zeichen z 
vorderen 
nit einer 
hängigen 
inction. 
  
Krümmung ebener Curven. 459 
‚Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall, dass der Zusammenhang 
einer Function y mit der unabhängigen Variabeln x durch die Gleichung ge- 
geben ist 
j. JC, J) 
Den ersten Differentialquotienten von y gewinnt man aus der Gleichung 
of Bf dy 
0x oy dx 
Denken wir uns aus den Gleichungen 1. und 2. y eliminirt, so erhalten wir 
y' als Function von x allein; führen wir diesen Werth in 9. ein, so wird 
identisch erfüllt, Differenzirt man 2. unter der Voraussetzung, dass y' durch x 
allein. ausgedrückt ist, so entsteht die Gleichung 
D; nr Qro PP p. 
As d y ly + ay = 29 uu = 0, 
ox“ 0 x 0 y OXOY 7 oy € 
oder besser 
2 y 0? f 22 af 
3 o 9 Hs f. , 0*f m d of "1 — 0 
9. PER E “don 7 y T 9 y + 7 J = . 
ox 0x Oy 0y oy 
ex + i T ! 0, of C o ^ alt 
setzt man hier den Werth y' — — zd 5 ein, so erhält man 
x à 
4. yt es 
  
0 Le Oy T OXOY 0X Oy oy? x : : oy 
Indem man noch rechts y durch x ausdrückt, erhült man y" als Function 
von x allein. 
Für den dritten Differentialquotienten von y erhált man durch Differentiation 
von 3. die Gleichung 
09 f Q3 oif 09 f 92 f. 
rt ase VY) + (2 + 2g? + 2 y" 
OX OX di Y \ ox? dy” drift “ ox0y 
1 19 i 9. Wa _ : 13 pe LY = "n Li y! y!! — 0 
tss FA 0y? p^ * $y3 J ) GC z Jod y ? 
0x0y + oy 0y 
oder kiirzer 
  
A 3 
FLY 2? 53 03 
y a. £g ya aat a C pt 
: 0x3 0x2 dy - 0x6y? - 0y3 
‘ 2 ^ 
0° 2f I" a? f prt of n ) 
+ Bp VY LAS =m A), 
0x0y - OyE + oy 
So fortfahrend, erlangt man z Gleichungen, welche die partialen Differential- 
quotienten von f mit den z Differentialquotienten 
dy d? y dy ary 
dx? dx?’ dao) - dat 
verkniipfen, aus denen man dieselben durch successive Elimination gewinnt. 
"3: 
8 8. Krümmung ebener Curven. 
l. Wenn zwei Curven, die in Bezug auf rechtwinkelige Coordinaten die 
Gleichungen haben y — /(x) und y — F(x) eien gemeinsamen Punkt P ent- 
halten, und wenn in diesem Punkte auch die Differentialquotienten 
ol CH e. 
7 b Ti ) * JJ 
der Reihe nach den Differentiak Ms ohh sind 
] 8 
Bo BY WR uso, 
So sagt man: Die beiden Curven haben in diesem Punkte 2 eine Be- 
rührung zter Ordnung. Aus dieser Definition folgt sofort: Wenn zwei Curven 
C, und C, mit einer Curve C, in demselben Punkte 72 eine Berührung zter 
1 2 3 o