464 Differentialrechnung. 
und bezeichnet den Krümmungsmittelpunkt mit 77, so hat folglich die Strecke 
PM das entgegengesetzte Vorzeichen wie das Produkt yy". Für Curven, 
die nur positive Ordinaten haben, liegt somit M auf dem nach der Abscissen- 
achse gerichteten Theile der Normalen oder nicht, je nachdem y" negativ oder 
positiv ist. 
Die Gleichung der Normale in P ist, wenn die laufenden Coordinaten mit 
& n bezeichnet werden 
6. N=s—x+y(a—y) = 0. 
Die Normale des Punktes P, mit den Coordinaten x + Ax, y + Ay hat 
daher die Gleichung 
7. N, = E— (@ + Ax) + (y! o- Ay) (n — y — Ay) — 0. 
Der Schnittpunkt beider Normalen genügt 6. und 7., also auch der durch 
Subtraction sich ergebenden Gleichung 
8. Ax + y'Ay + yAy' + Ay'Ay — nây' = 0. 
Dividirt man durch Ax und geht dann zur Grenze für ein verschwindendes 
Ax über, so erhält man eine Gleichung, welche mit 6. die Grenzlage bestimmt, 
der sich der Schnittpunkt der Normalen JV und JV, nühert, wenn 7, unendlich 
nahe an P rückt. Man erhält 
9. 1 + y'2 + yy" — ny" — 0. 
Die Gleichungen 6. und 9. stimmen mit den Gleichungen 2. und 5. überein. 
Wir sehen daher: Der Krümmungsmittelpunkt in P ist die Grenze, welche sich 
der Schnittpunkte der Normalen in 2 und der Normalen in P, náhert, wenn 
A, unendlich nahe an JP rückt; oder kürzer: Der Krümmun gsmittelpunkt 
ist der Schnittpunkt unendlich nahe benachbarter Normalen. Hieraus 
ergiebt sich sofort: Die Evolute einer Curve ist der Ort ihrer Krümmungs- 
mittelpunkte. 
Ferner ist ersichtlich: Der Krümmungshalbmesser eines Wendepunktes ist 
unendlich gross, die Krümmung im Wendepunkte ist Null. 
Für den Krümmungshalbmesser ergiebt sich noch eine sehr bemerkenswerthe 
Formel wenn man den Arcus des Winkels zwischen der Curventangente und 
der Abscissenachse einführt. Bekanntlich ist © = arc tangy’, folglich ist 
dr y" 
do yd. 
ds TE . + íi 
Da nun m V1--y?, wobei s den Curvenbogen bezeichnet, so erhält 
x 
man für p 
ds 
or I 
Ist As ein endlicher Curvenbogen und A« der Arcus des Winkels, den die 
5 ’ 
Tangenten in den Endpunkten dieses Bogens einschliessen, so ist daher 
o € ) 
/ A 
; S 
p = m Ac! 
der Krümmungsradius ist also der Grenzwerth, dem sich der Quotient aus einem 
Curvenbogen und aus dem Arcus des von den Tangenten in den Endpunkten 
dieses Bogens eingeschlossenen Winkels náhert, wenn der Bosen verschwindend 
8 , 5 
klein wird. 
Bezeichnet s den Winkel zwischen dem Radius vector des Punktes 2 und 
der Tangente in P (8 5, No. 17), © den Polarwinkel von Æ so ist bekanntlich 
Tr 7 ig, 
und daher 
   
Da 
mithin 1 
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SCHLOEMI