= — B, : À, 
jez. normalen 
(pm, 
eT EM, 
einer Parallelen 
ch eine willkür- 
, indem man 4 
le ersetzt. 
ktm, P gehen, 
man hat daher 
Gleichungen 
len 7,, 7, sind 
igleich. genügen. 
4,; und addirt, 
A.B, =0, 4 1. 
C, — A, C3 = 0, 
as Verschwinden 
d y ist aber, wie 
p= Ay Dil 
kt, wenn es ein 
r Geraden: 
muss ihre Deter- 
'kenswerthe Form 
ahlen z,, M9, M3 
B 5. Die Gleichung ersten Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 35 
m, A, ^ HO, - 34 — 0 
3. mB, + m, Ba + myBy = 
m, C, + ma Ca + Ma Ca = 0. 
Multiplicirt man die erste mit einer willkürlichen Zahl x, die zweite mit 
einer andern y und addirt dann die drei Gleichungen, so erhält man 
4. m, (Ax + By + Ci) + ma (Ag + Boy + Cy) + my(Azx + Bay + C3) = 0. 
Diese Gleichung ist eine identische, sie gilt für alle môglichen Werthe der 
Unbestimmten x und y; und umgekehrt: wenn es drei Zahlen m,, m9, ms giebt, 
durch welche die Gleichung 4. identisch erfüllt wird, so gelten die Gleichungen 
3., also verschwindet die Determinante Æ, und die drei Geraden 7’, 7, 7'y gehen 
durch einen Punkt. 
Sollen also die drei Geraden durch einen Punkt gehen, so muss es drei 
Zahlen m,, 749, M, geben, welche die Gleichung 4. zu einer identischen machen. 
Eine lineare Function der Coordinaten eines Punktes Ax + By + C wollen 
wir künftig gewöhnlich mit dem Buchstaben 7’ bezeichnen, setzen also (unter 
Anwendung des Identitätszeichens ==) 
Tem dx -- By 4 C. 
Die Gerade, deren Gleichung 7'— 0 ist, sol im Texte als die Gerade 
T==0, oder kurzweg im Texte und in der Figur als die Gerade 7' bezeichnet 
werden. Verschiedene lineare Functionen der Coordinaten (also auch verschiedene 
Gerade) unterscheiden wir durch untere oder obere Indices an den Coefficienten 
der Functionen und geben dem Zeichen 7' denselben Index, setzen also 
T1=4x4+B,y+C,, T'=Ax+By+ C u s. w 
Nun können wir die oben entwickelte Bedingung 4. in folgender Weise aus- 
sprechen: Gehen drei Gerade 7,=0, 7,=0, 7;=0 durch einen 
Punkt, so giebt es drei Zahlen m,, m, m; für welche identisch 
D. m, 1, + 1m, La + M, La = 0; 
und umgekehrt: wenn es drei Zahlen z giebt, durch welche die Identi- 
tät hergestellt wird: 
m, 1, + ma T9 + M3 13 = 0, 
so gehen die drei Geraden 74, 7,, 7. durch einen Punkt. 
12. Wir wollen nun einige Anwendungen des soeben gewonnenen Satzes 
geben. 
Die Gerade P4, P, hat die Gleichung (No. 3) 
(94 — V2) € — (4 — $3)J -- (4g — X34) — 0. 
Die Gerade 7,, die durch P, normal zu ,, gelegt wird, hat also (No. 9, 6) 
die Gleichung: 
Le = (x, — 3) (x — x9) + O4 —V2) (9 — F0) = 0. 
Ersetzt man die Indices 0 1 2 der Reihe nach durch 1 2 0 und durch 2 0 1, 
so erhält man die Gleichungen der Geraden Z7', und 7,, die durch die Punkte 
P, und 2, normal zu den Geraden 2,2, bez. P,P, gelegt sind, nämlich 
Timm (x9 — x9) (x — 31) d- Og —39) 0 —3)) — 
T e (xo — x4) (x — 43) -- Oo —3)0 0 —279) - 0. 
Dies sind also die Gleichungen der Höhen des Dreiecks 7,P,P,. Man 
sieht sofort, dass die Summe 7% + 7, + 7, identisch verschwindet und hat 
damit eine analytisch-geometrische Herleitung des Satzes: Die Höhen eines 
Dreiecks schneiden sich in einem Punkte. 
13. Theilt man die Seiten eines Dreiecks 22,7, der Reihe nach durch 
die Punkte II,, II, II, in den Verhältnissen