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§ 9. Osculationsebene, Kriimmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. ‘467 
proportional der Cosinus der Winkel sind, welche die Curventangente in P mit 
den Coordinatenachsen bildet, so schliesst man aus 4.: Die Ebenen der 
Plancurven, welche durch einen Punkt 7 einer Raumcurve gehen, 
und in diesem Punkte mit der Raumcurve in Bezug auf die ersten 
Differentialquotienten der Coordinaten übe ereinstimmen, bilden das 
Ebenenbüschel, dessen Tráger die Tangente der  Raumcurve in.Z ist. 
Unter allen diesen Ebenen kann man diejenige aussuchen, auf welcher 
Curven liegen, die mit der Raumcurve C auch in Bezug auf die Verhältnisse 
der zweiten Differentialquotienten der Coordinaten für P übereinstimmen. Dann 
muss auch die Gleichung 3. erfüllt werden, wenn man in derselben die zweiten 
Differentialquotienten von E, 
{ durch die von x, y, z ersetzt; man erhält 
somit für a, à, 
die drei Gleichungen 
a (£—2) -- &(—7) -- e (t—2) — 0, 
e ax + by + cs =0, 
ext d By + ed =. 
Hieraus folgt die Gleichung der gesuchten Ebene 
E— x n—y £—z| 
5. Q = x! y Z' — 0. 
| x! JJ g!! 
Diese Ebene wird als die Osculationsebene der Curve C im Punkte P 
bezeichnet. 
2. Die Bao von C im Punkte P hat die Gleichung 
1. == (£— x) x + (n—y)y + (C— 32) 8’ = 
die Gleichung da ea N, im Punkte x + 4x, y+ dy, z + dz ist 
2. NV zx (E— x— Axy(ax! 4- 4x?)-- (n—— 4)! + dy) + (C— 2 — Az)(2' 4- Az!) —0. 
Die Punkte, welche auf der Schnittgeraden beider Ebenen enthalten sind, 
erfüllen daher die Gleichung, welche durch Subtraction aus N, und N und 
Division durch A£ folgt 
  
  
  
À x JAY A z! Ax Ay 
€ en MY EE) a ma al al x lo 
3. (: ET (0 m3 (4 dV. Ar Ax) AZ (y + Ay) 
Az , ; 
cA hd re 
Wir kónnen nun die Grenzlage bestimmen, der sich die Schnittgerade NN, 
nähert, wenn der Bogen PP, verschwindet. Bei diesem Grenzübergange geht 3. 
in die Gleichung über 
ds\? 
4 Re (—-2s-0—9» -t-2s — (55) = 0; 
die durch diese Gleichung dargestellte Ebene Æ schneidet die Ebene ./V in der 
gesuchten Geraden. Die Cosinus der Stellungswinkel der Ebenen /V und Æ sind 
proportional zu x', y', z' bez. zu x", y", z". Eine Ebene, die durch P geht, und 
zu der Geraden N, Æ normal ist, hat daher eine So 
aE—2) +b (n—3) +c (— 2) = 
deren Constante den Bedingungen geniigen 
ax! + y + cz! =D, 
'+ 6y' + cz = 0. 
Die Gleichung dieser Ebene ist hiernach 
|» q—» t—5 
x! 
x"! 
y 
X 
! 
I 
Z 
Z 
I 
n 
  
= 0. 
Vergleicht man dies mit dem Ergebnisse des vorigen Abschnitts, so folgt: 
3o*