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89. Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 473 
Statt der Gleichung 4. kann man nun die Gleichung verwenden, die aus 7. 
durch Differentiation nach s hervorgeht 
8. (E&—x)dcose + (n—y)dcost + (2) dcosy — (cos d x+cos b dy--cos y dz) — dp. 
Da die Tangente zur Richtung o, vw, y normal ist, so ist 
cospdx + cosbdy + cosy dz = 0. 
Setzt man ferner die Werthe aus No. 5, 14 ein, so erhält man in Rücksicht 
auf 6. die Gleichung 
  
9. (8 — x) cos) + (q — y) cosp -- ((— z) cosy 9 — - 
do : 
Multiplicirt man 6., 7., 9. zuerst der Reihe nach mit cos, cos, cos), dann 
mit cosB, cos, cosy, hierauf mit cosy, cosy, cosy und addirt jedesmal, so erhält man 
E — x = pcosp — = - cosh, 
dp 
10. y — y — pcosy — de^ (05 
dp 
5 — Z = pcosy — Zu cosy. 
Hierin kann man fiir cosh, cosy, cosy, cos, cosy, cosy, p, do die Werthe 
No. 5, 2 oder 3, No. 4, 4 oder 7, No. 4, 2 oder 5, No. 5, 9 setzen. 
Quadrirt man diese Werthe und addirt, so erhilt man fiir den Radius der 
Kugel 
11 RU ss ot (55): 
: K RT rr de)’ 
Diese Kugel, deren Mittelpunkt und Halbmesser sich aus 10. und 11. be- 
stimmen, heisst die osculirende Kugel der Curve im Punkte 2. 
Die Gleichungen 2. und 3. lehren, dass der Mittelpunkt der osculirenden 
Kugel auf der Schnittlinie benachbarter Normalebenen gelegen ist. 
Der Abstand des Centrums der osculirenden Kugel von der Osculationsebene 
hat nach 12. den Betrag 
dp 
do 
Hieraus erkennt man: DerK rümmungskreiseiner Curvein einemPunkte 
derselben ist der Schnitt der osculirenden Kugel mit der Osculations- 
ebene. 
Für Curven von constantem Krümmungshalbmesser liegt das Centrum der 
osculirenden Kugel auf der Osculationsebene und der Krümmungskreis ist somit 
ein grósster Kreis der osculirenden Kugel 
7. Als Beispiel betrachten wir die Schraubenlinie. Unter denselben 
Voraussetzungen wie in 86, No. 9 sind die Gleichungen der Schraubenlinie 
z= fo, X deo, ym @ sing. 
Jedes Bogenelement ds ist gegen die Horizontalebene um den constanten 
Winkel geneigt, den die Tangente mit der Horizontalebene bildet; der Cosinus 
dieses Winkels ist a: Va? + £? ; daher ist der von der Horizontalebene bis zum 
Punkte P sich erstreckende Bogen s der Schraubenlinie gleich der Horizontal- 
projection von s, dividirt durch diesen Cosinus. Mithin haben wir 
Vasnr iu t 
Sq 7 pc AO — ] a? —+ £2 D. 
2 y= ? 
Setzen wir zur Abkürzung 2 —1: Va? + £2, so ist daher 
1. Z = ANS, X = acosns, y — asinns. 
Hieraus folgen die Differentialquotienten