Ibmessers. 
? enthält 
und ist 
geneigt, 
r Achse. 
irauben- 
uubenlinie 
lirende 
P geht, 
ubmesser 
und p, 
sich die 
(| Strecke 
durch À 
hse und 
und ein- 
8 10. Kriimmung von Flächen. 475 
8 10. Krümmung von Flächen *). 
l. Bei den vorhergehenden Untersuchungen haben wir eine Raumcurve 
nicht durch zwei Gleichungen zwischen den Coordinaten charakterisirt, sondern 
wir haben mit wesentlichem Vortheile die Coordinaten eines Curvenpunktes als 
Functionen einer unabhüngigen Variabeln 7 betrachtet. 
In gleicher Weise ist es bei den folgenden Untersuchungen über Flüchen 
vortheilhaft, eine Fláche nicht durch eine Gleichung 
JJ,» 2 0 
zu charakterisiren, sondern x, y, z als Functionen zweier unabhángigen Veründer- 
lichen z, 7 
1. X We y=F Fv), ES Fw 20 
zu betrachten. Eliminirt man aus den Gleichungen 1. z und v, so erhält man 
eine Gleichung zwischen x, y, z, also die Gleichung der Fläche in der gewöhn- 
lichen Form. 
So wird z. B. ein Ellipsoid, dessen Achsen in die Coordinatenachsen fallen, 
durch die Gleichungen dargestellt 
X= ACOSU COSU, y > ÖCOSUSIND, ^ 8 = CSI, 
denn aus diesen Gleichungen folgt 
X y : z ; 
— == COSU COST, 5 == COSUSINU,  — == Sinu, 
a b € 
und daher, wenn man quadrirt und addirt 
ep 
"3 + pile pes] wm 0), 
a? 2? e? 
Für die axiale normale Schraubenregelflüche hat man 
X mm DOOM, (y m DEM, 8 c EH. 
2. Ertheilt man der Veránderlichen v einen besonderen Werth v,, so 
stellen die Gleichungen 
vee Fly, 05), Oy m F000) v= Flu v) 
eine Curve dar, die auf der Fläche liegt. Aendert man nun 79, so ändert sich 
Lage und Gestalt dieser Curve, und durchläuft v, die ganze Zahlenreihe, so be- 
schreibt die Curve die ganze Fläche. Ferner wird durch die Gleichungen 
Xen BF (0, 0), Y= Flu, D, 855 Fu, 1), 
WO 4, einen besonderen Werth bezeichnet, eine Raumcurve anderer Art darge- 
stellt, die auch auf der Fläche liegt. Durchlüuft z, die ganze Zahlenreihe, so 
wechselt diese Curve continuirlich Gestalt und Lage und beschreibt ebenfalls die 
ganze Fläche. 
Somit wird die Fláche von zwei Schaaren von Curven bedeckt, und jeder 
Punkt der Fläche erscheint als Schnittpunkt einer Curve der einen Schaar mit 
einer Curve der andern. Wir bezeichnen z und v als die Parameter der 
Flächenpunkte, und die Curven auf der Fláche, welche die Punkte enthalten, 
für welche v bez. z constant ist, als Parameterlinien; letztere charakterisiren 
wir kurzweg durch die Bedingungen v — v, bez. u = uu. 
Wáhlt man x und y selbst zu unabhüngigen Veründerlichen, setzt man also 
X — 4, y — v, so 1st durch die Bedingung v — v, eine Ebene normal zur 
Y-Achse dargestellt; die. Parameterlinien v — v, sind also die Querschnitte der 
*) Dieser Abschnitt ist im Anschlusse an Horrz, Principien der Fláchentheorie, 
Leipzig 1876, 8 1 bis 9 u. ff. bearbeitet.