476 Differentialrechnung. 
Fläche parallel zur XZ-Ebene; die Parameterlinien # = 4, Sind die Querschnitte 
der Fläche parallel der VZ-Ebene. In der analytischen Geometrie des Raumes 
haben wir diese Curven benutzt, um uns eine Ansch 1auung der zu einer gegebenen 
Gleichung gehórigen Flüche II. O. zu verschaffen. 
9. Bewegt sich ein Punkt 2 um unendlich wenig entlang der Flüche in 
übrigens beliebiger Richtung, so erhalten 2 und v unendlich kleine Veränderungen 
du und dv von unbestimmtem Verhältnisse. Die zugehörigen Aenderuugen von 
xX, 7 2 ergeben eh euch Differentiation zu 
* do; dy == 27 
Óz 
7 du; dz = =— du + + do. 
> Ou 00 
Das vom Punkte P bei dieser M ems i Bogenelement ist 
di? = dx? + dy? + dz? 
Führt man hier die Werthe 1. ein, so erhält man 
2. ds? — edu? -- 9fdudv -- gdv?, 
Wobei e, f, g die Ausdrücke bezeichnen 
- 69 0) * C2 
Öx 0x 0y 0y 0303 
A n 
f 0400 Ou 07 ou ov’ 
r= GY 0)- 6) 
Diese Grössen e, /, g werden in der Flüchentheorie als die Fundamental- 
gróssen I. Ordnung bezeichnet. Sie sind von der Lage des Punktes P ab- 
hängig, hängen aber nicht von dem Verhältnisse 07:04, also nicht von der 
Richtung ab, welche das Curvenelement 4; hat. 
Sind a, 8, 4 die Cosinus der Winkel, welche die Tangente einer auf der 
Fläche durch P gehenden Curve in 2 mit den Achsen bildet, so ist 
dx dy dz 
wu f= dit 0S 
Setzt man hier die Werthe aus 1. und 2. ein, und bezeichnet das Verhältniss 
dv : du mit R, so erhält man 
02 E 
a = -G + À 655): N, = -G x RS M m € + k=): NN, 
Ou Ou ov 
wobei = = Ve? e E + gh? 
Fiir eine andere durch auf der Fläche gezogene Curve haben dv: du und 
*, B, 1 andere Werthe Z', o', B', y. Der Winkel 9, unter dem sich die Curven 
in P schneiden, bestimmt sich aus 
cost = aa + BB + 79 
mit Hülfe der Werthe 1. und der entsprechenden Werthe für a 8" zu 
€ + f(k + Rk) 4- g£Z 
Vie + 2/% + gk?) (ce -- 2/7 -- go) 
Die den Verhältnissen # und %' zugehörigen Curvenelemente sind daher 
normal zu einander, wenn 
ox 
1. dx = y du —+ 
       
U 
I: 
Qo 
  
5. cost = 
  
  
  
6. € + f (ER + R') + gh#' = 
4. Ist II ein Punkt der Tangente einer durch P gehenden Curve auf der 
Fläche, und PII = RZ, so gelten die Gleichungen 
da dy dz 
CR a TES RT 
Führt man hier die Werthe fiir dx, dy, dz ein, und eliminirt dann dæ und 
dv, so erhält man 
   
Die: 
im Punk 
Sinc 
achsen, 
Qua 
die Gleic 
3. 
wodurch 
punktes 
bildet, sc 
4. 
führt ma 
hängigke 
die vier 
wobei du 
Diese 
Funkt de: 
die Fund 
Multi 
mit dudv