Differentialrechnung. 
1 1 (x) — &(x) 
X (ni m rn a ve SN 
Ar m I NS 
Für x = & verschwinden g(x) und dq(x) also auch Dividend und Divisor des 
zuletzt gewonnenen Quotienten. Daher hat man 
: : VO — © 
— o(E) — - ; ; 
19710 — HPO Ime 
Durch dieses Verfahren erhält man z. B. den Grenzwerth von 
  
  
  
1 1 
% er —1 
für x — 0; man hat g(x) =x, ¢(x) = e* — 1; daher ist der gesuchte Grenz- 
werth gleich dem Grenzwerthe des Quotienten 
ex — 1 
Zähler und Nenner dieses Bruches verschwinden für x = 0; mithin hat man 
beide nochmals zu differenziren und erhält 
er 1 
Det + met x+2 
Der gesuchte Grenzwerth ist daher 4. 
4. Durch Anwendung der Regel in No. 1 lassen sich noch einige weitere 
Grenzwerthe bestimmen. 
Wenn /(x) für x — & verschwindet, und (x) für denselben Werth der 
Variabeln unendlich gross wird, so ist für x = € 
1 
1. lim f(x) - o(x) = lm f(x) : —, 
(4) (a) = linf@) : 7 
: Jim (x) 4 (æ) — gmf(x)ie(x) — elimf(e) : [1:20 (a)] ; 
3. mL + f(x) = lim es) +S) = Zane! --/020:0:902] , 
Hierdurch sind diese Grenzwerthe auf den Grenzwerth des Quotienten zweier 
verschwindenden Functionen zurückgeführt. 
8 18. Die TAYLOR'sche Reihe. 
1. Im Folgenden soll die Frage beantwortet werden, ob man im Stande ist, 
aus den Werthen, welche eine Function und ihre Differentialquotienten für einen 
bestimmten Werth x = € der Variabeln haben, auf den Werth zu schliessen, den 
die Function für einen andern Werth der Variabeln x — € + 4 annimmt, ob es 
also und bez. unter welchen Bedingungen es möglich ist, /(& + 7) aus 
A fo. F0. PO, 70, rtg... 
zu berechnen. Um einen Anhalt zu gewinnen, beantworten wir diese Frage 
zunüchst für den einfachsten Fall, für eine algebraische ganze Function zten 
Grades, und untersuchen dann, wie weit sich das Resultat auf andere Functionen 
übertragen lässt. Ist f(x) eine ganze Function, so ist /(E 4- 7) eine ganze Function 
von À, so dass wir setzen können 
SE+ A) = wA, 
wo eg eine ganze Function bezeichnet. Ferner ist 
d" f (£) dr f(t + 4) d^"f(& 4- &) d" e (À) 
= (em (e ha lore 
Es genügt also, zu untersuchen, ob man 
e (4) aus A, e(0), e (0), e (0), e (0) $5. 
berechnen kann; man kann dann diese Gróssen der Reihe nach durch 
      
     
   
    
      
   
  
  
     
   
  
   
   
   
     
    
   
  
  
  
  
  
  
   
    
   
   
    
  
       
      
erset 
so h: 
e, (x) 
MC 
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2. fi 
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