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liche Reihen 
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§ 16. Unendliche Reihen. 541 
Summe der ersten z Glieder bei wachsender Gliederzahl einer endlichen Grenze 
sich nähert, und zu zeigen, unter welchen Bedingungen die Reihen den arith- 
metischen Operationen unterworfen werden können. 
2. Es sei 4, eine Function der positiven ganzen Zahl x, und das allge- 
meine Glied einer unendlich fortgesetzten Reihe 2, 4-44 24-234 4- 24 4-45 4-46 d-.... 
Náhert sich die Summe der ersten z Glieder einem bestimmten endlichen 
Grenzwerthe ,S, mit dem sie bis zu jedem Grade der Genauigkeit übereinstimmt, 
wenn man nur % gross genug wählt, so bezeichnet man SS als die Summe der 
unendlichen Reihe und die Reihe selbst heisst convergent. Enthält dabei 
das allgemeine Glied 7, eine unbestimmte Grösse x, so wird im Allgemeinen 
die Reihe nicht für alle, sondern nur für die zwischen bestimmten Grenzen 
liegenden Werthe von x convergiren; innerhalb der Convergenzgrenzen ist die 
Summe der Reihe von x abhängig und daher eine bestimmte Function /(x) von x; 
jenseit der Convergenzgrenzen ist die Summe der Reihenglieder unabhängig von 
x unendlich gross oder unbestimmt; die Reihensumme stimmt also dann nur 
innerhalb der Convergenzgrenzen mit /(x) überein; jenseit derselben ist diese 
Uebereinstimmung nicht vorhanden. 
Wächst die Summe der ersten z Glieder über alle Grenzen, wenn z wáchst, 
so bezeichnet man die Reihe als divergent. Wenn hingegen bei einer Reihe 
Gruppen mit positiven und Gruppen mit negativen Gliedern abwechseln, so kann 
es sich ereignen, dass die Summe der Glieder, bis zum Abschlusse einer Gruppe 
positiver Glieder, sich einer bestimmten Grenze nähert, während die Summe der 
Glieder bis zum Abschlusse einer Gruppe negativer sich einer andern bestimmten 
Grenze nähert; dies ist z. B. der Fall bei 
1—1+1—1+1—1+.. 
Hört man hier bei einem positiven Gliede auf, so ist die Summe + 1, hört 
man bei einem negativen auf, so erhält man 0. Solche Reihen sind als oscil- 
lirende bezeichnet worden; da durch dieselben bestimmte Grössen nicht dar- 
gestellt werden, so sind sie analytisch nicht verwendbar. 
3. Wir beschäftigen uns in den folgenden Abschnitten mit der wichtigsten 
der hierher gehörigen Fragen — mit den Convergenzbedingungen für 
unendliche Reihen. 
Um über die Convergenz einer unendlichen Reihe zu entscheiden, kann man 
zunächt versuchen, die Summe der ersten % Glieder in übersichtlicher Weise als 
Function von z darzustellen. Findet man dann, dass diese Function für ein 
unendlich wachsendes z sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert, so ist 
diese Grenze die Summe der vorgelegten unendlichen Reihe und die Reihe selbst 
ist convergent; man hat also in diesem Falle nicht blos über die Convergenz 
entschieden, sondern auch die Reihe in geschlossener Form summirt. 
A. Um über die Convergenz der Reihe 
l. 1 + x + x? + 3x3 + xt +... 
zu entscheiden, bilde man 
sn = 1 + X + x? + X5 + + x 
] — x1 1 1 
an Ara .1-- 
Ist der absolute Werth von x > 1, so ist Z;x"tl— oo, und daher die 
Reihe 1. divergent. 
Ist x = 1, so ersieht man sofort, dass die Summe der Reihe unendlich ist. 
Ist — 1 < x < 1, so ist 
. xni