es 1) ani |
1
E d nx.
dlich, sobald
Bruch ist, so
hnen wollen;
2
4c? ,
DN
[0]
4 und einen
- 2 — 2)
- 4 — 1)
rauch macht
36.
8 16. Unendliche Reihen. 543
8 -- 0(09-2-23)...(8--»—10) $884 D(8--2)....(B)
&(x--1)(«4-2)... («4-m —1) a(a--1)(x-2).... (a 4 m)
a—8 BB+1)G+2)...G+m—1)
a («+ U)(« + 2)(@ +38)... (a + m)"
Setzt man hierin der Reihe nach » = 1, 2, 3 . . . . # — 1 und addit, so
erhält man
§ e+ D040... Brn—1)
v «(x--1)(x4-2)... (a2- n — 1)
B eM 88 + 1) 8 -- D... 2—2)
E x C p ito 1)(a +2) de «eu do r$ (a 28— 1)
Die Convergenz oder Divergenz der unendlichen Reihe
ob. POD BB+ DB +2) B+ DEBE +2)E +3)
e+ 1 rar) at Dla +20 +5) lar a+ as Se +4)
wird daher durch die Untersuchung des Grenzwerthes entschieden, den der Bruch
E+ 0+... Gra—1)
a(a+ 1)(a + 2) . . . (a+ n—1)
bei unendlich wachsendem z sich nähert.
Ist a = B, so ist dieser Bruch die Einheit; in diesem Falle wird aus 1. die
Reihe
5.
1 141.1 1
gga Te abo
In 8. sind dann beide Seiten Null, und man kann an 2. weitere Schliisse
nicht knüpfen; wir berücksichtigen diesen Fall jetzt nicht weiter und behalten
uns vor, auf die unendliche Reihe
L | 4. 1 1
IAs rat Eig
später zuriickzukommen.
Wir haben nun die Fälle « > ß und « <ß zu untersuchen und beschränken
uns dabei auf positive Werthe von « und f.
Sind 4 und 4 ganze positive Zahlen, und ist auch x positiv, so ist bekanntlich
ANA
(+; due, Qv3Y 2 Let FA,
folglich auch
1 1 1
< <
> / Á C 1
6 (+3) LEE A ha
Ist nun a > 8 und æ > 0, so kann man x durch (a — 8) : (ß + m) ersetzen
und erhält
F 3 2 % 1
i pm ( B +4 m k
a — E ———————X]-
8 + m+ ELT d -F m 8 + m + k(a— )
Wählt man % und ^4 so, dass
1
h > a—B, bm I
S0 ist(u —98):2 « 1 und Z(« —9) > 1; die Ungleichung 7. wird daher noch
verstirkt, wenn man (« — 8): /% und £ (a — 9) durch die Einheit ersetzt. Dadurch
entsteht 1
Ir» V Ox B+m Ve
B+msl a + m Bm +