Differentialrechnung. 
S8 17. Unendliche Produkte. 
1. Bekanntlich ist 
Sindu = 3sinu — 4sindu, 
cos Bu = 4cosdu — 3cosu, 
Sindu = sinducos2u + sin2u cos Su, 
= sindu (1 — 2 sin? u) + 2 sin u (4 cos* u — 3 cos? u), 
D SIM 14 — 20 sin?u + 16 sind u. 
Auf Grund dieser Formeln kann man den Nachweis dafür versuchen, dass 
für ein ungerades p 
l. sinpu = Aysinu + Agsinu + Aysindu + .. + Ay asina. 
Man hat zunächst 
szn(22 + Vu = sin(@n— 1) u- cos2u + cos(2n— l) u - sin2u 
= sin(2n— 1 u-(1 —2sinu) + 2cos(2n — 1) u - cosusinu. 
Die Entscheidung darüber, ob sich szz(2z 4- 1)& nach ungeraden Potenzen 
von sz entwickeln lässt, hängt somit davon ab, ob sin(2% — 1)w und 
cos(2n — 1) # - cosæ - sinu diese Entwicklung zulassen. Für das letztere Produkt 
hat man 
cos (2n — l)u - cosu — cos(2n — 3)u - cosu - (1— 2 sin?u) — 2sin(22 —3)u(1 — sin?u). 
Wenn sich also szz(22 —3)u, cos(29m — 3) 4 - cosu - sinu und. sin(2n — 1)u 
gemäss 1. entwickeln lassen, so ist diese Entwicklung auch fiir siz(22 + 1) und 
cos(2n — l)u - cosu sinu nachgewiesen. Da sie nun fiir 
SINBU, cosducosusinu, sindu 
gilt, so gilt sie allgemein. 
Aus der Gleichung 1. folgt 
SIM y. U 
  
  
2. ; = A, + 4.sn*a--...-- 4a simu 
52211 
Geht man zur Grenze für x = 0 über, so erhält man 
SEM U . $2151 u 
3. Ay. == lm et = ul rr ane M. 
521 no sinu 
Bezeichnet man mit z,, 4, .. . 4, 4 die Werthe von z, für welche die 
rechte Seite der Gleichung 2. verschwindet, so ist 
siny U ; : 
—— c Ay 1(sinu, — sinu)(sinu, — sinu)... (set 4 — sinu). 
52210 % f 
Ferner folgt aus 2. und 3. 
9. p= Aup_1Sinuy Sinuy sinu, . .. sinu, 1, 
und durch Division aus 4. durch 5. 
SINY U 1 sin u ) 1 7777 Sinu 1 777 
"xe sin, S215 SEMI Sin Un J^ 
  
Die linke Seite dieser Gleichung verschwindet für die V — 1 von einander 
verschiedenen Bogen 
T IT Sw l(p —1)x 
1” uw.’ Ad u , 
U — € 1 
T 2% 3v l(p—1)z 
p? u^ p y 
Setzt. man diese Werthe für æ, .. . #y—1, so kann man die aus je zwei ent- 
gegengesetzt gleichen Bogen entstehenden Faktoren vereinen und erhält 
3 sin? 2 sin? u sm? u 
5221. 24 
m n = | $ A 9x]... ; — l1) 
p. S2 u Sin sin? sin? 
: u on 
  
  
     
    
   
    
    
   
   
   
    
   
   
   
    
      
  
    
  
    
    
    
     
        
    
     
  
    
   
           
    
     
   
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