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Gehen wir zur Grenze für 
erhalten wir 
Integralrechnung. 
AF 
lim Ax 7 Un f(x + pdx), folglich 
AF 
ams = f(x) oder dF = f(x) dx. 
Hieraus folgt 
9. Wir wollen nun zeigen 
; Wie die Fliche 7 — und damit also das Integral 
[F(x dx — durch Begrenzung bestimmt werden kann. 
Y Wir setzen zunächst voraus, dass die 
enthaltene Flächenstreifen 
Ye FT 
| 
f Idx = F + Const. 
P/ Curve von 4 bis 2 nur steigt. 'lheilen wir 
f 4'P' in » gleiche Theile à, so sind die zu 
den Theilpunkten 0, 1 
Ordinaten 
Aa), f(@ + 8), f(a 4- 29), fla 33).... 
J(a -- n—18), f(a 4- n5) e Fa). 
Construirt man zwischen den Ordinaten 
| Ju 9) und /(a 4- £8) ein Rechteck 0k 
Tp" mit der Hohe f(a + £—18) und eines 7, 
mit der Hóhe /(@ + #8), so ist, da nach der 
Voraussetzung 
J(a -- &—I18) — f(a + #3), 
der zwischen /(a + % 16) und fa + &0) 
grösser als p+ und kleiner als z,. Daher 1st 
? 
  
  
  
  
(M. 499.) 
  
  
  
  
1. us Fe Dre. 
1 1 
Nun ist 0; — fla+k—18).5, 7 em fuz: 
daher 7pm ps cfe e 49) — Fla. a. 
Also ist 7, =p = [fla +8) — LOIS 
Pols == [Fle 4 25) — Fla 4 0)] 8, 
Pg bs = [Fla + 38) — flag + 20)]à, 
7s — py = [fle + 48) — fiz + 305, 
74 — pn = [f(a + nd) — Jl mn] à)|à. 
Y Hieraus folgt durch Addition 
| 20 Xn — Y» — [/() — /(2]à. 
1 4. Bezeichnet y einen positiven 
rl | CR echten Bruch, so folgt aus 1. und 2. 
E] | Pi. 3. F =p + u[f(x) — f()à. 
nh nS | | NP Wenn die Curve von 4 bis Pnur 
| | | fod | i | 5 ; fällt, so nehmen wir dieselben Con- 
| L3 | PM | structionen vor; da aber jetzt 
ALLL LL Ales fee, 
oa TR p' so ist der zwischen diesen Ordinaten 
| enthaltene Flächenstreifen kleiner als 
pz und grösser als ra; daher ist jetzt 
(M. 500.) 4. o> F > Sr; 
einen verschwindenden Werth von Ax über, so 
2... % gehörigen 
  
  
     
    
     
   
    
    
  
   
    
  
  
     
   
         
   
    
    
    
    
   
    
Hier: 
Wir | 
Gehe 
Werth fii 
vorausges 
so erhalte 
7. F 
oder kürz 
Wenr 
zum Falle 
| Y 
| 
> 
De 
# 
Sj 
  
wieder di 
Theilpunk 
Zr Fay + 
werden d 
Ordinaten 
Anfangsor 
und die I 
so ist für 
Wobei z,, 
schwindet 
passenden