46 Analytische Geometrie.
zweite die eines Punktes auf 7544 ist, so sind also die Gleichungen zwei ver- und
schiedene Formen der Gleichung des auf den Geraden G3 und Gog gelegenen Biiscl
Diagonalpunktes $9, und man hat des E
2. Do = aL Pp a3 P m a P4 as = 0. Tx
Aus 1. folgt weiter die Identitát I
uP, — ayy = a3 P3 — a9 P5. Büscl
Die Gleichung des (
3. Ba = a Pı — au a P — a3 — 0
ist also die Gleichung des auf P,7, und 77» gelegenen Diagonalpunktes 9s. ]
Aus 1., 2. und 3. ergeben sich weiter die Identitäten dess
4. 94 2-339 9m au 047; 5. $,— fao 5 -- 0305, zw
). qi zi $a em a4 + 2375; 7. Pir — Ps = a2 P» + 2475; die
8. Ba + B3 = a, M4 — 2.1%; 9) 35— se a4 74 — 2345. PA
Nach No. 5. sind die dreimal vier Punkte |
a) Pr=0, $»—0, $-1$-—0, $—3-—0; Spe
:
8) $120, $340, $--T145—0, $3;— $5—0;
4) $0, P,=0, B+Ps=0, $2— 5-0 |
i
harmonisch. Da nun z. B. aus den Identitäten 4. und 5. folgt, dass $34 4- $3 — 0 7373
und $34 — Pa = 0 die Gleichungen der Punkte der Geraden 354 3» sind, in welchen Elem
dieselbe von den einander gegenüberliegenden Seiten G14 und G23 geschnitten sich
: | Strat
wird, so ergiebt sich: Zwei Diagonalpunkte eines vollstindigen Vier-
ecks und die beiden Punkte, in welchen ihre Verbindungsgerade von e
den beiden gegenüberliegenden Vierecksseiten geschnitten wird,
die nicht durch die beiden Diagonalpunkte gehen, sind harmonisch.
Der wesentliche Inhalt dieses Satzes ist von den Schlusssátzen in No. 7 nicht mon
verschieden. Die Bemerkungen über das vollstindige Viereck sind aber des-
wegen noch selbststindig mitgetheilt worden, um das über Punktgleichungen
Erórterte in einem einfachen Beispiele anzuwenden.
Sind 73, 75, 73 drei Strahlen eines Büschels, 71', 75', 75' drei Strahlen eines
andern Büschels, 74, 75, Pa drei Punkte einer Geraden, Pı', Pı', Py' drei Punkte oder
einer andern Geraden, und ordnet man in den Büscheln und Geraden die dess
Strahlen und Punkte 717", Z,2' einander zu, für welche die Doppelverhiltnisse +a
gleich sind geei;
(DB 7) = (DIT) = (AB BP) = (P1B1B!P"),
so nennt man die Büschel und Punktreihen projectiv (oder projectivisch,
collinear, homographisch) Die zugeordneten Strahlen und Punkte werden
auch entsprechende, insbesonders projectiv entsprechende Elemente der
Gebilde genannt, und die projective Verwandtschaft der Strahlenbüschel und
Punktreihen, sowie das Entsprechen der einzelnen Strahlen und Punkte durch ents
das Zeichen a ausgedrückt. Man schreibt also jecti
ADR RIT con BBE. Rz LEE, Gle
sowie LI n PP.
Aus der Definition folgt ohne Weiteres die Bemerkung: Sind zwei Strahl- dem
büschel oder Punktreihen mit demselben Strahlbüschel oder der-
selben Punktreihe projectiv, so sind sie unter einander projectiv.
In Rücksicht auf No. 6 folgt ferner: Ein Strahlbüschel 71 75 712117575... der
und ein geradliniger Querschnitt desselben Pi 7 75 £ DP, 45... sind projectiv, Büs
